Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale

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Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale #6226

avt
21zuclo
Frattale
Un esercizio teorico mi chiede di dimostrare che la matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale è la matrice identità. Sapreste spiegarmi come si dimostra?

Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione n, \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare definito positivo su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base ortonormale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle.

Dimostrare che la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B} è la matrice identità di ordine n.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale #6363

avt
Omega
Amministratore
Siano V uno spazio vettoriale su \mathbb{R} di dimensione n, \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare definito positivo su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base ortonormale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle.

Dobbiamo dimostrare che la matrice associata al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B} è la matrice identità di ordine n.

Per definizione, la matrice A che rappresenta il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B} è una matrice quadrata di ordine n in cui l'elemento di posto (i,j) è dato dal prodotto scalare tra i vettori \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j, ossia

A=\begin{pmatrix}\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_n \rangle \\ \\ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_n \rangle \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_n \rangle\end{pmatrix}

Per ipotesi, \mathcal{B} è una base ortonormale, dunque

\langle \mathbf{v}_i , \mathbf{v}_j\rangle = 0 \ \ \ \forall \ i \neq j

e

\langle \mathbf{v}_i , \mathbf{v}_i\rangle = 1 \ \ \ \forall \ i \in \{1,2,...,n\}

Da ciò segue che gli elementi di A che non appartengono alla diagonale principale sono nulli, mentre quelli della diagonale principale sono uguali a 1.

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}

Ciò conferma che A è la matrice identità di ordine n e la dimostrazione è conclusa.
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