Area di un parallelogramma formato da due vettori

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Area di un parallelogramma formato da due vettori #6133

lolloviola Frattale	Come si calcola l'area di un parallelogramma formato da due vettori? Se ho capito bene devo calcolare il prodotto vettoriale, ma questo prodotto non restituisce un vettore? Come faccio a risalire all'area che, invece, è un numero reale? Calcolare l'area del parallelogramma avente per lati i vettori

Area di un parallelogramma formato da due vettori #6150

Galois

Amministratore

Per risolvere l'esercizio è sufficiente ricordare l'interpretazione geometrica del prodotto vettoriale: il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori non nulli

coincide con l'area del parallelogramma avente come lati consecutivi i rappresentanti dei due vettori applicati del medesimo punto.

Per quanto concerne il tuo dubbio è bene notare che si sta facendo riferimento al modulo del prodotto vettoriale, ossia alla norma del vettore

, che è proprio uno scalare, quindi è del tutto lecito affermare che il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori non nulli coincide con l'area del parallelogramma da essi formato.

Chiarito ciò passiamo alla risoluzione dell'esercizio che chiede di calcolare l'area del parallelogramma che ha per lati i vettori

v = i+2j-3k ; w = 2j-k

Senza ledere in generalità, possiamo supporre che i vettori abbiano lo stesso punto di applicazione, quale potrebbe essere l'origine del sistema di riferimento.

Calcoliamo allora il prodotto vettoriale tra

che, con un abuso di linguaggio, viene identificato con il determinante della matrice

[i j k ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3]

avente sulla prima riga i versori

e sulle altre due righe le componenti dei vettori

, che sono

v = i+2j-3k = (1,2,-3) ; w = 2j-k = (0,2,-1)

Pertanto

v×w = det[i j k ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3] = det[i j k ; 1 2 -3 ; 0 2 -1]

Per il calcolo del determinante scegliamo di usare la regola di Sarrus.

Riscriviamo la matrice accostando sulla sua destra la matrice stessa

i j k i j k ; 1 2 -3 1 2 -3 ; 0 2 -1 0 2 -1

Consideriamo le tre diagonali complete costruite a partire dai primi tre elementi della prima riga e sommiamo i prodotti tra gli elementi di ciascuna diagonale

(i)(2)(-1)+(j)(-3)(0)+(k)(1)(2) = -2i+2k

Ripetiamo lo stesso procedimento sulle tre antidiagonali complete costruite a partire dagli ultime tre elementi della prima riga

(k)(2)(0)+(j)(1)(-1)+(i)(-3)(2) = -j-6i

Sottraendo, nell'ordine, i due risultati si ottiene il determinante della matrice, e quindi il prodotto vettoriale cercato

v×w = det[i j k ; 1 2 -3 ; 0 2 -1] = -2i+2k-(-j-6i) = -2i+2k+j+6i = 4i+j+2k

v×w = det[i j k ; 1 2 -3 ; 0 2 -1] = -2i+2k-(-j-6i) = -2i+2k+j+6i = 4i+j+2k

Scriviamolo in forma vettoriale

e concludiamo calcolando la sua norma, data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti

||v×w|| = ||(4,1,2)|| = √(4^2+1^2+2^2) = √(16+1+4) = √(21)

Finito! L'area del parallelogramma formato dai vettori

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