Isomorfismo coordinato

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Isomorfismo coordinato #60775

avt
maati
Punto
Vorrei capire che cosa si intende con isomorfismo coordinato, sia da un punto di vista teorico che pratico.

Potreste dirmi come si definisce, dimostrare che è una trasformazione lineare biiettiva e mostrarmi qualche esempio di applicazione?
Ringraziano: ThePear
 
 

Re: Isomorfismo coordinato #60875

avt
Omega
Amministratore
L'isomorfismo coordinato è un'applicazione lineare biiettiva che a ogni vettore di uno spazio vettoriale finitamente generato associa le sue coordinate rispetto a una base fissata.

Anche se questa definizione sintetica può apparire ostica agli occhi meno esperti, con qualche piccola premessa sarà nettamente più chiara.

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K} e di dimensione n, e sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V, ossia un insieme ordinato di generatori linearmente indipendenti di V.

Dalla definizione di base segue che ogni vettore di V può essere espresso mediante una combinazione lineare degli elementi della base, ossia per ogni \mathbf{v} \in V esistono gli scalari a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{K} tali che

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

Gli scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n della precedente combinazione prendono il nome di coordinate del vettore \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

È quindi del tutto lecito definire l'applicazione

\varphi: V \to \mathbb{K}^n

dove n è la dimensione dello spazio vettoriale V, che a ogni \mathbf{v} \in V associa le coordinate del vettore rispetto a una base fissata.

Più esplicitamente, scelta una base \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \mbox{ di } V:

\\ \varphi: V \to \mathbb{K}^n \\ \\  \varphi(a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n)=(a_1, a_2, ..., a_n)

è detta isomorfismo coordinato ed è una trasformazione lineare biiettiva.


Dimostrazione

Per quanto concerne la linearità, in accordo con la definizione di applicazione lineare dobbiamo dimostrare che per ogni \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 \in V e per ogni \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K}:

\varphi(\lambda_1 \mathbf{u}_1 + \lambda_2 \mathbf{u}_2) = \lambda_1 \varphi(\mathbf{u}_1)+\lambda_2 \varphi(\mathbf{u}_2)

Siano allora \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2 \in V e \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K}.

Essendo \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V, esistono gli scalari

a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n \in \mathbb{K}

tali che

\mathbf{u}_1=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n \\ \\ \mathbf{u}_2=b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2+...+b_n\mathbf{v}_n

di conseguenza

\\ \lambda_1 \mathbf{u}_1 = \lambda_1 a_1\mathbf{v}_1 + \lambda_1 a_2\mathbf{v}_2 + ... + \lambda_1 a_n\mathbf{v}_n \\ \\ \lambda_2 \mathbf{u}_2 = \lambda_2 b_1\mathbf{v}_1 + \lambda_2 b_2\mathbf{v}_2 + ... + \lambda_2 b_n\mathbf{v}_n

e quindi

\lambda_1 \mathbf{u}_1 + \lambda_2 \mathbf{u}_2 = (\lambda_1 a_1 + \lambda_2 b_1)\mathbf{v}_1 + (\lambda_1 a_2 + \lambda_2 b_2)\mathbf{v}_2 + ... + (\lambda_1 a_n + \lambda_2 b_n)\mathbf{v}_n

Dal modo in cui è definita l'applicazione \varphi segue che

\\ \varphi(\lambda_1 \mathbf{u}_1 + \lambda_2 \mathbf{u}_2) = \\ \\ = \varphi((\lambda_1 a_1 + \lambda_2 b_1)\mathbf{v}_1 + (\lambda_1 a_2 + \lambda_2 b_2)\mathbf{v}_2 + ... + (\lambda_1 a_n + \lambda_2 b_n)\mathbf{v}_n) = \\ \\ = (\lambda_1 a_1 + \lambda_2 b_1, \ \lambda_1 a_2 + \lambda_2 b_2, \ ..., \ \lambda_1 a_n + \lambda_2 b_n) = \\ \\ = \lambda_1(a_1,a_2,...,a_n)+\lambda_2(b_1,b_2,...,b_n)= \\ \\ = \lambda_1 \varphi(\mathbf{u}_1) + \lambda_2 \varphi(\mathbf{u}_2)

ed abbiamo così dimostrato che \varphi è un'applicazione lineare.

Per la biiettività è sufficiente osservare che le coordinate di un vettore rispetto a una base sono univocamente determinate, ossia per ogni (a_1, a_2, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n esiste un unico vettore \mathbf{v} \in V tale che

\mathbf{v}=a_1 \mathbf{v}_1+a_2 \mathbf{v}_2+ ... + a_n \mathbf{v}_n


Osservazione (Dipendenza dell'isomorfismo coordinato rispetto alla base)

Come avrete certamente intuito, il concetto di isomorfismo coordinato è indissolubilmente vincolato alla scelta della base.

Fissato uno spazio vettoriale e una sua base, esiste un unico isomorfismo coordinato, intendendo con questo l'implicita dipendenza della definizione dalla scelta della base.

Di contro, per un dato spazio vettoriale si potranno definire infiniti isomorfismi coordinati: uno per ciascuna base.


Esempi di isomorfismo coordinato

1) Siano V=\mathbb{R}^3 \mbox{ e } \mathcal{B}=\{(1,0,1), \ (0,-1,2), \ (3,1,0)\}

Possiamo considerare l'isomorfismo coordinato

\varphi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

che a ogni vettore \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 associa le sue coordinate rispetto alla base \mathcal{B}.

Se ad esempio consideriamo \mathbf{v}=(7,2,0) allora risulta che

\varphi(\mathbf{v})=(-2,1,3)

Per convincersene è sufficiente notare che -2,1,3 sono i coefficienti della combinazione lineare che permettono di esprimere \mathbf{v} in termini dei vettori della base \mathcal{B}, infatti

-2(1,0,1)+1(0,-1,2)+3(3,1,0)=\\ \\ =(-2,0,-2)+(0,-1,2)+(9,3,0) =\\ \\ =(-2+0+9,0-1+3,-2+2+0) =\\ \\ =(7,2,0)=\mathbf{v}


2) Se consideriamo lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali V=Mat(m,n,\mathbb{R}) e fissiamo la base canonica di tale spazio, possiamo considerare l'isomorfismo coordinato

\varphi:Mat(m,n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{m \times n}

che a ogni matrice

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

associa il vettore

(a_{11}, a_{12}, ..., a_{1n}, a_{21}, a_{22}, ..., a_{2n}, ..., a_{m1}, a_{m2}, ..., a_{mn})

Per fissare le idee possiamo supporre che sia V=Mat(2,2,\mathbb{R}), la cui base canonica è

\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}\right\}

L'isomorfismo coordinato associa quindi a ogni matrice quadrata di ordine 2

A=\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix} \in Mat(2,2,\mathbb{R})

il vettore

(a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4


3) Indichiamo con \mathbb{R}_n[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in \mathbb{R}, nell'incognita x e di grado al più n, e sia

\mathcal{B}=\{1,x,x^2,...,x^n\}

la sua base canonica.

Possiamo introdurre l'isomorfismo coordinato

\varphi: \mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}^{n+1}

che a ogni polinomio

p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \in \mathbb{R}_n[x]

associa il vettore di \mathbb{R}^{n+1} i cui elementi sono i coefficienti di p(x)

\varphi(p(x)) = (a_0, a_1, a_2, ..., a_n)

Volendo essere più diretti, supponiamo che sia V=\mathbb{R}_2[x].

La sua base canonica è \mathcal{B}=(1,x,x^2) e l'isomorfismo coordinato \varphi: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^{3} associa a

p(x)=a+bx+cx^2 \in \mathbb{R}_2[x]

il vettore

(a,b,c) \in \mathbb{R}^3

***

Gli isomorfismi dei precedenti esempi 2) e 3) giocano un ruolo chiave in Algebra Lineare; sono infatti uno dei metodi risolutivi usati per approcciare gli esercizi sulle applicazioni lineari con spazi di matrici e sulle applicazioni lineari con spazi di polinomi.
Ringraziano: CarFaby, maati
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