Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici

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Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6021

avt
xavier310
Sfera
Buonasera ragazzi. Potreste cortesemente correggermi questi quesiti vero o falso?

1) Se A non è diagonalizzabile allora gli autovalori di A non sono tutti distinti
Falso giusto?
2)Se A è diagonalizzabile per ogni autovalore \lambda_s di molteplicità k, allora la matrice \lambda_s I -A ha rango n - k
Credo di sia vera

3)Le matriciA=\begin{bmatrix} 0& 0& 0\\0& 0& 2\\ h & 1 & 2\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix} 1& 0& 1\\0& 2& 0\\1& 0& 1\end{bmatrix} sono simi

Qua mi verrebbe da dire che non hanno gli stessi autovalori quindi non sono simili. Quali sono le altre caratteristiche in in questo caso dimostrano che non sono simili? Il fatto che siano matrici singolari ci dice qualcosa?
4)Se A non è invertibile, allora A non è diagonalizzabile
Se una matrice è singolare, cioè ha determinante=0 allora non è diagonalizzabile o mi sbaglio? Quindi risulta vera

5) Se \lambdaè autovalore di una matrice unitaria, allora |\lambda|
Questa proprio non l'ho capita

6)Siano A e B due matrici simili. Se A è non singolare, allora B ha un autovalore nullo.
Anche questa non ho capito =(
 
 

Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6035

avt
Omega
Amministratore
Buonasera a Lei, Xavier emt Facciamo il check-up completo?

[b]1) Se A non è diagonalizzabile allora gli autovalori di A non sono tutti distinti

Contronominalmente: se gli autovalori di A fossero tutti distinti, allora la matrice sarebbe diagonalizzabile??? Falso, o per lo meno falso per matrici a coefficienti reali. In tal caso infatti possiamo avere autovalori tutti distinti ma tra questi un autovalore complesso, e la matrice non sarebbe diagonalizzabile.

2)Se A è diagonalizzabile per ogni autovalore \lambda_s di molteplicità k, allora la matrice \lambda_s I-A ha rango n - k.

Necessariamente vera, perché la molteplicità algebrica di ciascun autovalore deve coincidere con la molteplicità geometrica dell'autovalore stesso. Quest'ultima è proprio la dimensione di Ker(\lambda_s-I)

3)Le matrici ... e ... sono simili
Se due matrici sono simili hanno necessariamente gli stessi autovalori, ma se hanno gli stessi autovalori non sono necessariamente simili. Sicuramente, se non hanno gli stessi autovalori, non possono essere simili.
In alternativa, è sufficiente osservare che le due matrici hanno una diversa traccia, e ragionare allo stesso modo. Il rango invece è lo stesso, ma chissenefrega. emt

4)Se A non è invertibile, allora A non è diagonalizzabile

Falsa.

5) Se è autovalore di una matrice unitaria, allora |\lambda|

Credo che sia incompleta, manca qualcosa...

6)Siano A e B due matrici simili. Se A è non singolare, allora B ha un autovalore nullo.


Falso: ti basta notare che le due matrici sono simili e quindi hanno necessariamente lo stesso determinante.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, xavier310

Re: Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6067

avt
xavier310
Sfera
"4)Se A non è invertibile, allora A non è diagonalizzabile

Vera, perché tra gli autovalori della matrice abbiamo l'autovalore nullo"

Perchè non può avere autovalore nullo? Quale relazione persiste tra il determinante di una matrice, e la diagonalizzabilità?

5) Se è autovalore di una matrice unitaria, allora |\lambda| \le 1

PS. Omega c'è qualcosa che non va nel visualizzare l'anteprima del testo

Re: Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6210

avt
Omega
Amministratore
Vabbè, lasciamo perdere l'idiozia che ho scritto alle 21:46 del giorno 24/01. Una matrice non invertibile può tranquillamente essere diagonalizzabile, l'autovalore nullo non c'entra un fico secco. (Correggo il messaggio precedente).

Per quanto riguarda le matrici unitarie, invece, l'affermazione è vera perché in particolare le matrici unitarie hanno tutti gli autovalori di modulo pari a 1.
Ringraziano: xavier310

Re: Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6239

avt
xavier310
Sfera
Quindi quali conseguenze può portare il fatto che una matrice è o non è invertibile nel caso della diagonalizzazione o anche più in generale?

Re: Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6366

avt
Omega
Amministratore
Non c'è nessuna relazione tra diagonalizzabilità e invertibilità.
Ringraziano: xavier310

Re: Correzione domande a risposta multipla sulla diagonalizzazione e sulla similitudine tra matrici #6373

avt
xavier310
Sfera
Ok grazie Omega. emt quando hai 2 minuti di tempo potresti dare un'occhiata ad alcuni degl'ultimi topic, anche per non lasciarli a metà. Ti rimgrazio nuovamente emt
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Os