Soluzioni di sistema lineare con sistema lineare omogeneo

Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa significa questo teorema sulle soluzioni di un sistema lineare con il sistema lineare omogeneo associato?

Se è un sistema lineare compatibile (in n incognite) e , allora si ha che



dove indica il sistema lineare omogeneo associato.

Si può anche enunciare il teorema affermando che tutte e sole le soluzioni di un sistema lineare si ottengono sommando ad una sua particolare soluzione, arbitrariamente fissata, le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato.

Non riesco proprio a capire cosa significhi.

Ciao Hyperion,

il teorema afferma semplicemente, dato un sistema lineare , l'insieme delle soluzioni del sistema si ottiene considerando una qualsiasi sua soluzione particolare e sommando le soluzioni del sistema lineare omogeneo con tale soluzione.

In simboli, tutte e sole le soluzioni del sistema lineare si possono scrivere nella forma



dove è una qualsiasi soluzione di .

Ti faccio notare che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono sempre un sottospazio vettoriale, mentre le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo costituiscono un sottospazio affine.