Problema con la diagonalizzazione e la similitudine tra matrici

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Problema con la diagonalizzazione e la similitudine tra matrici #6007

avt
xavier310
Sfera
Meno male che sei tornato presto YouMath emt perchè ho bisogno di aiuto in quanto mi sono impelagato in una confusione pazzesca =(
In un esercizio mi si chiede di dimostrare che:
Date le matrici:

A=\begin{bmatrix} -13 & 6 & 4\\-36 & 17 & 8 \\ -28 & 10 & 11 \end{bmatrix} \quad P=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\2& 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \quad D=diag(3,5,7)

Mostrare che D=P^{-1}AP

Ora questa è una relazione di similitudine se prendiamo in considerazione la definizione giusto?

Ma dato che I=P^{-1}P che senso ha verificare che D=P^{-1}AP

se è la stessa cosa di scrivere D=A

(che inoltre è falso perché non sono uguali) quindi? Dov è che sbaglio in tutto questo?
 
 

Re: Problema con la diagonalizzazione e la similitudine tra matrici #6043

avt
Omega
Amministratore
Xavier310 ha scritto
Meno male che sei tornato presto YouMath

Ti siamo mancati? emt

Veniamo all'esercizio: la premessa è che ti viene richiesto di mostrare che le due matrici A,D sono simili. Ora: tu sai che se una matrice ha tutti gli autovalori reali distinti, è diagonalizzabile. Se è diagonalizzabile, allora esiste una base dello spazio (qui \mathbb{R}^3) formata dagli autovettori associati alla matrice.

In particolare se consideriamo la matrice P avente per colonne gli autovettori della matrice A (che, in Podo del tutto casuale, chiamerò P, esattamente P, proprio P emt ), possiamo diagonalizzare la matrice secondo la legge

D=P^{-1}AP

Morale della favola: l'esercizio ti serve su un piatto d'argento autovalori e autovettori della matrice A. Verifica che siano quelli, e l'esercizio è concluso!

Xavier310 ha scritto:
Ma dato che...

Attenzione, concentrazione: il prodotto tra matrici non è commutativo! Non puoi scambiarle come ti pare nel prodotto P^{-1}AP emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, xavier310, ild0tt0re

Re: Problema con la diagonalizzazione e la similitudine tra matrici #6075

avt
xavier310
Sfera
Grazie Omega emt come spesso mi accade, sono inciampato sull' "Attenzione, concentrazione!"emt
Ringraziano: Omega, NAR
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Os