Prodotto scalare indefinito e non degenere?

Dopo aver studiato la teoria sui prodotti scalari mi era sembrato di capire che ogni prodotto scalare indefinito è degenere, ma dopo aver letto la traccia di un esercizio ho dedotto che non è così, quindi ho le idee molto confuse. Potreste aiutarmi a capire la relazione tra prodotto scalare indefinito e prodotto scalare degenere, e risolvere l'esercizio che sto per proporvi?

Verificare che il prodotto scalare definito da



è indefinito e non degenere.

Richiamiamo, molto brevemente, le definizioni di prodotto scalare indefinito e di prodotto scalare degenere per poi vedere come, all'atto pratico, si stabilisce se un prodotto scalare è indefinito e se è degenere o non degenere.

Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su e un prodotto scalare definito su .

è indefinito se e solo se, per definizione, esistono due vettori tali che:



è, invece, degenere se esiste almeno un vettore non nullo di che moltiplicato per qualsiasi vettore di dà zero.

Se è una base dello spazio vettoriale e se è la matrice associata al prodotto scalare rispetto a , si dimostra che:

è indefinito se e solo se ammette almeno due autovalori di segno discorde;

è: degenere se e solo se il determinante di è uguale a zero, non degenere in caso contrario.

Per un noto teorema, il determinante di una matrice è pari al prodotto dei suoi autovalori, cosicché un prodotto scalare è degenere se e solo se almeno uno degli autovalori di è nullo.

Nel caso in cui un prodotto scalare è indefinito, almeno due degli autovalori di sono discordi, dunque non sappiamo se vi è, o meno, qualche autovalore che sia nullo.

In definitiva, un prodotto scalare indefinito può essere degenere o non degenere, non possiamo saperlo a priori. Più nello specifico sarà degenere se ha almeno un autovalore nullo, non degenere altrimenti.

Avendo ben chiaro quanto detto fin qui, per verificare che il prodotto scalare



è indefinito e non degenere basta scegliere una base di , scrivere la matrice associata al prodotto scalare rispetto a essa e calcolarne gli autovalori: se nessuno è nullo e se due sono di segno discorde, allora è non degenere e indefinito.

Prendiamo la base canonica di e calcoliamo la matrice che rappresenta rispetto a essa.

è una matrice simmetrica di ordine tre tale che l'elemento di posto è pari al coefficiente del termine dell'espressione esplicita del prodotto scalare, ossia



Troviamone il polinomio caratteristico



dopo aver applicato la regola di Sarrus



Gli autovalori di sono gli zeri di ed essendo simmetrica sono tutti reali. Possiamo, allora, determinare il loro segno con la regola di Cartesio.

è un polinomio completo, di terzo grado, con termine noto diverso da zero, dunque non vi sono autovalori nulli. Inoltre, tra un coefficiente e il successivo ci sono due variazioni di segno e una permanenza, pertanto due autovalori sono positivi e uno è negativo.

Per quanto detto in precedenza, possiamo concludere che è indefinito e non degenere.