Prodotto scalare indefinito e non degenere?

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Prodotto scalare indefinito e non degenere? #59535

avt
Kevins
Punto
Dopo aver studiato la teoria sui prodotti scalari mi era sembrato di capire che ogni prodotto scalare indefinito è degenere, ma dopo aver letto la traccia di un esercizio ho dedotto che non è così, quindi ho le idee molto confuse. Potreste aiutarmi a capire la relazione tra prodotto scalare indefinito e prodotto scalare degenere, e risolvere l'esercizio che sto per proporvi?

Verificare che il prodotto scalare langle , rangle definito da

langle x,y rangle = -2x_1y_1+x_1y_2+2x_1y_3+x_2y_1+3x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2+5x_3y_3

è indefinito e non degenere.
 
 

Prodotto scalare indefinito e non degenere? #59549

avt
Omega
Amministratore
Richiamiamo, molto brevemente, le definizioni di prodotto scalare indefinito e di prodotto scalare degenere per poi vedere come, all'atto pratico, si stabilisce se un prodotto scalare è indefinito e se è degenere o non degenere.

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su R e langle , rangle un prodotto scalare definito su V.

langle , rangle è indefinito se e solo se, per definizione, esistono due vettori v, w ∈ V tali che:

langle v, v rangle > 0 ; langle w, w rangle < 0

langle , rangle è, invece, degenere se esiste almeno un vettore non nullo di V che moltiplicato per qualsiasi vettore di V dà zero.

Se mathcalB è una base dello spazio vettoriale V e se A è la matrice associata al prodotto scalare rispetto a mathcalB, si dimostra che:

langle , rangle è indefinito se e solo se A ammette almeno due autovalori di segno discorde;

langle , rangle è: degenere se e solo se il determinante di A è uguale a zero, non degenere in caso contrario.

Per un noto teorema, il determinante di una matrice è pari al prodotto dei suoi autovalori, cosicché un prodotto scalare è degenere se e solo se almeno uno degli autovalori di A è nullo.

Nel caso in cui un prodotto scalare è indefinito, almeno due degli autovalori di A sono discordi, dunque non sappiamo se vi è, o meno, qualche autovalore che sia nullo.

In definitiva, un prodotto scalare indefinito può essere degenere o non degenere, non possiamo saperlo a priori. Più nello specifico sarà degenere se A ha almeno un autovalore nullo, non degenere altrimenti.

Avendo ben chiaro quanto detto fin qui, per verificare che il prodotto scalare

langle x,y rangle = -2x_1y_1+x_1y_2+2x_1y_3+x_2y_1+3x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2+5x_3y_3

è indefinito e non degenere basta scegliere una base di R^3, scrivere la matrice associata al prodotto scalare rispetto a essa e calcolarne gli autovalori: se nessuno è nullo e se due sono di segno discorde, allora langle , rangle è non degenere e indefinito.

Prendiamo la base canonica di R^3 e calcoliamo la matrice A che rappresenta langle , rangle rispetto a essa.

A è una matrice simmetrica di ordine tre tale che l'elemento di posto (i,j) è pari al coefficiente del termine x_iy_j dell'espressione esplicita del prodotto scalare, ossia

A = [-2 1 2 ; 1 3 -1 ; 2 -1 5]

Troviamone il polinomio caratteristico

 p_A(λ) = det(A-λ Id_3) = det[-2-λ 1 2 ; 1 3-λ -1 ; 2 -1 5-λ] =

dopo aver applicato la regola di Sarrus

= -λ^3+6λ^2+7λ-49

Gli autovalori di A sono gli zeri di p_A(λ) ed essendo A simmetrica sono tutti reali. Possiamo, allora, determinare il loro segno con la regola di Cartesio.

p_A(λ) è un polinomio completo, di terzo grado, con termine noto diverso da zero, dunque non vi sono autovalori nulli. Inoltre, tra un coefficiente e il successivo ci sono due variazioni di segno e una permanenza, pertanto due autovalori sono positivi e uno è negativo.

Per quanto detto in precedenza, possiamo concludere che langle , rangle è indefinito e non degenere.
Ringraziano: Kevins
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Os