Ricerca di Autovettori

Salve a tutti!
Ho notato che trovo difficoltà nel trovare gli autovalori durante la diagonalizzazione di una matrice!
Stavo svolgendo la diagonalizzazione di una matrice davvero semplicissima ma, trovati gli autovalori e costruiti i sistemi omogenei, non riesco a proseguire (sospetto che il classico unito ad una professoressa tutt'altro che capace ne siano in parte i colpevoli xD).
Ad esempio, un sistema di questo genere
2x-y-z=0
-x+2y-z=0
-x-y+2z=0
come va affrontato? In pratica a me viene naturale sostituire nelle varie incognite però giungo sempre alla soluzione banale x=y=z=0
Vorrei che qualcuno mi spiegasse davvero, passo passo, il modo di procedere :3
Ringrazio in anticipo!

in che senso perchè risolvi quel sistema se dici di dover trovare gli autovalori? dovresti porre
e dunque risolvendo il determinante trovarti l'autovalore 2 se non sbaglio con molt.algebrica 3

Azz, ho sbagliato a scrivere!
Trovo difficoltà ne trovare gli autovettori, non autovalori! Comunque, nella matrice che sto considerando gli autovalori sarebbero 2 (con molteplicità algebrica 1) e -1 (con molteplicità algebrica 2)

quale è la matrice che stai considerando? comunque prendiamo ad esempio la matrice che ho scritto io prima allora per trovare gli autovettori ti andando a sostituire apposto di lambda la prima volta 2 ti esce il primo autospazio poi sostituisci di nuovo 2 e il secondo poi sostituisci -1 e ti esce fuori il terzo
di queste tre matrici teoricamente i vettori che le costituiscono sono gli autovettori ma forse il tuo libro vuole sapere gli autovettori che formano la base e quindi devi ricavarti anche le basi di queste matrici

Ciao SaucyDrew il sistema che hai scritto deriva dall'equazione dell'autospazio?

Sarebbe conveniente che tu scrivessi la matrice di partenza, così controlliamo tutto (anche la correttezza degli autovalori, e le equazioni degli autospazi )

Sì allora, la matrice è formata da queste righe: (0 1 1),(1 0 1),(0 1 1)
In pratica devo calcolare 'le nuove colonne' che formeranno la matrice P che diagonalizza A.
ps. come posso scrivere matrici, operazioni, sistemi sul forum come ha fatto anche 904?

devi usare il sito codecogs.it
quindi è questa la matrice ? sicuro degli autovalori che ti sei ricavato dal determinante di questa matrice?

l'ultima riga è (1 1 0) scusami, ho sbagliato di nuovo a digitare :/

quindi è questa? puoi comunque provare col procedimento che ti ho consigliato io

Okei, sostituendo l'autovettore -1 ottengo la matrice

(-1, -1, -1) (-1, -1, -1) (-1, -1, -1)

a questo punto dovrei trovarmi degli autovettori risolvendo il sistema omogeneo (questo almeno è quello che mi hanno insegnato al corso) che in questo caso dovrebbe venire di questa forma

(t, -t, 0)

A questo punto, attribuisco due valori casuali a t ottenendo due autovettori giusto?