Volume del parallelepipedo generato da tre vettori

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Volume del parallelepipedo generato da tre vettori #5823

avt
xavier310
Sfera
Come si calcola il volume del parallelepipedo generato da tre vettori? Potreste fornire un metodo generale e mostrarmi come risolvere questo esercizio?

Calcolare il volume del parallelepipedo generato dai vettori

u = (-2,1,1), v = (0,1,3), w = (1,0,-1)
 
 

Volume del parallelepipedo generato da tre vettori #5955

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere l'esercizio è sufficiente ricordare l'interpretazione geometrica del prodotto misto, secondo cui il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori di R^3 uguaglia il volume del parallelepipedo avente come spigoli i vettori.

Per intenderci, il volume del parallelepipedo generato da

u = (-2,1,1), v = (0,1,3), w = (1,0,-1)

è uguale al valore assoluto di u×v·w.

Il metodo più rapido e veloce di calcolare il prodotto misto è quello di comporre una matrice avente per righe (o per colonne) i tre vettori, e di calcolarne il determinante, dunque

u×v·w = det[u_1 u_2 u_3 ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3] = det[-2 1 1 ; 0 1 3 ; 1 0 -1] =

procedendo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna

= -2·[1 3 ; 0 -1]+1·[1 1 ; 1 3] = -2·(-1-0)+1·(3-1) = -2·(-1)+1·2 = 2+2 = 4

Dunque

u×v·w = 4

Evidentemente, il valore assoluto di 4 è 4, pertanto il volume del parallelepipedo generato da u, v, w è proprio 4.
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os