Stabilire se tre vettori sono complanari

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#5796
avt
21zuclo
Frattale
Sto affrontando un esercizio che chiede di stabilire se tre vettori sono complanari. Cosa dovrei fare?

Stabilire se i vettori

u = (1,-2,3), v = (3,5,2), w = (5,12,1)

sono complanari.
#5822
avt
Omega
Amministratore
Tre vettori dello spazio tridimensionale sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo, dunque per esaudire la richiesta dell'esercizio è sufficiente calcolare il prodotto misto

u×v·w

Se è nullo, i tre vettori sono complanari, se è diverso da zero non lo sono.

In generale, il prodotto misto tra

u = (u_1,u_2,u_3) ; v = (v_1,v_2,v_3) ; w = (w_1,w_2,w_3)

coincide col determinante della matrice che ha come righe (o come colonne) le componenti dei tre vettori, e composta rispettando l'ordine con cui i vettori compaiono nel prodotto, dunque

u×v·w = det[u_1 u_2 u_3 ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3]

Il testo dell'esercizio fornisce i vettori per componenti

u = (1,-2,3), v = (3,5,2), w = (5,12,1)

pertanto

u×v·w = det[u_1 u_2 u_3 ; v_1 v_2 v_3 ; w_1 w_2 w_3] = det [1 -2 3 ; 3 5 2 ; 5 12 1]

Per il calcolo del determinante scegliamo di usare la regola di Sarrus.

Scriviamo la matrice senza parentesi accostando la matrice stessa sulla sua destra

1 -2 3 1 -2 3 ; 3 5 2 3 5 2 ; 5 12 1 5 12 1

Consideriamo le tre diagonali complete costruite a partire dai primi tre elementi della prima riga e calcoliamo la somma tra i prodotti degli elementi di ciascuna diagonale

(1)(5)(1)+(-2)(2)(5)+(3)(3)(12) = 5-20+108 = 93

Ripetiamo le stesse operazioni sulle tre antidiagonali costruite considerando gli ultimi tre elementi della prima riga

(3)(5)(5)+(-2)(3)(1)+(1)(2)(12) = 75-6+24 = 93

Sottraendo, ordinatamente, i risultati ottenuti si ricava il valore del determinante della matrice, nonché il valore del prodotto misto

u×v·w = det [1 -2 3 ; 3 5 2 ; 5 12 1] = 93-93 = 0

Possiamo così concludere che i tre vettori sono complanari. Fine!
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