Tre vettori dello spazio tridimensionale sono complanari se e solo se il loro
prodotto misto è nullo, dunque per esaudire la richiesta dell'esercizio è sufficiente calcolare il prodotto misto
Se è nullo, i tre
vettori sono complanari, se è diverso da zero non lo sono.
In generale, il prodotto misto tra
coincide col
determinante della matrice che ha come righe (o come colonne) le componenti dei tre vettori, e composta rispettando l'ordine con cui i vettori compaiono nel prodotto, dunque
Il testo dell'esercizio fornisce i vettori per componenti
pertanto
Per il calcolo del determinante scegliamo di usare la
regola di Sarrus.
Scriviamo la matrice senza parentesi accostando la matrice stessa sulla sua destra
Consideriamo le tre diagonali complete costruite a partire dai primi tre elementi della prima riga e calcoliamo la somma tra i prodotti degli elementi di ciascuna diagonale
Ripetiamo le stesse operazioni sulle tre antidiagonali costruite considerando gli ultimi tre elementi della prima riga
Sottraendo, ordinatamente, i risultati ottenuti si ricava il valore del determinante della matrice, nonché il valore del prodotto misto
Possiamo così concludere che i tre vettori sono
complanari. Fine!