Stabilire se tre vettori sono complanari

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Stabilire se tre vettori sono complanari #5796

avt
21zuclo
Frattale
Sto affrontando un esercizio che chiede di stabilire se tre vettori sono complanari. Cosa dovrei fare?

Stabilire se i vettori

\vec{u}=(1,-2,3), \ \vec{v}=(3,5,2), \ \vec{w}=(5,12,1)

sono complanari.
 
 

Stabilire se tre vettori sono complanari #5822

avt
Omega
Amministratore
Tre vettori dello spazio tridimensionale sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo, dunque per esaudire la richiesta dell'esercizio è sufficiente calcolare il prodotto misto

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}

Se è nullo, i tre vettori sono complanari, se è diverso da zero non lo sono.

In generale, il prodotto misto tra

\\ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) \\ \\ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) \\ \\ \vec{w}=(w_1,w_2,w_3)

coincide col determinante della matrice che ha come righe (o come colonne) le componenti dei tre vettori, e composta rispettando l'ordine con cui i vettori compaiono nel prodotto, dunque

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}=\mbox{det}\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}

Il testo dell'esercizio fornisce i vettori per componenti

\vec{u}=(1,-2,3), \ \vec{v}=(3,5,2), \ \vec{w}=(5,12,1)

pertanto

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}=\mbox{det}\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3\end{pmatrix} = \mbox{det} \begin{pmatrix}1&-2&3 \\ 3&5&2 \\ 5&12&1\end{pmatrix}

Per il calcolo del determinante scegliamo di usare la regola di Sarrus.

Scriviamo la matrice senza parentesi accostando la matrice stessa sulla sua destra

\begin{matrix}1&-2&3&1&-2&3 \\ 3&5&2&3&5&2 \\ 5&12&1&5&12&1\end{matrix}

Consideriamo le tre diagonali complete costruite a partire dai primi tre elementi della prima riga e calcoliamo la somma tra i prodotti degli elementi di ciascuna diagonale

\\ (1)(5)(1)+(-2)(2)(5)+(3)(3)(12) = \\ \\ = 5-20+108 = \\ \\ = 93

Ripetiamo le stesse operazioni sulle tre antidiagonali costruite considerando gli ultimi tre elementi della prima riga

\\ (3)(5)(5) + (-2)(3)(1) + (1)(2)(12) = \\ \\ = 75-6+24 = \\ \\ = 93

Sottraendo, ordinatamente, i risultati ottenuti si ricava il valore del determinante della matrice, nonché il valore del prodotto misto

\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{w}=\mbox{det} \begin{pmatrix}1&-2&3 \\ 3&5&2 \\ 5&12&1\end{pmatrix}=93-93=0

Possiamo così concludere che i tre vettori sono complanari. Fine!
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Os