Esistenza di una matrice partendo da autovalori e autovettori

Cortesemente, potreste spiegarmi come si calcola una matrice conoscendone gli autovalori e gli autovettori? È un esercizio di preparazione all'esame di Algebra Lineare su cui sono fermo da giorni.

Scrivere una matrice che abbia come autovalori e e come autovettori rispettivamente associati e .

Ricordiamo le definizioni di autovalore e autovettore di una matrice: uno scalare è un autovalore di una matrice quadrata , e il vettore colonna non nullo è un rispettivo autovettore, se



Questo è quanto basta per risolvere l'esercizio proposto che chiede di scrivere una matrice che abbia come autovalori



e come rispettivi autovettori



Procediamo! Consideriamo una generica matrice



è un autovettore associato all'autovalore se e solo se



Svolgiamo il prodotto tra matrici a primo membro



e ricordiamo che due matrici sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, pertanto dev'essere



Mettiamo per un momento da parte queste condizioni e imponiamo che sia un autovettore riferito all'autovalore



da cui otteniamo che dev'essere



ossia



Risolviamo il sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite formato dalle condizioni trovate a abbiamo finito!



Procediamo con il metodo di sostituzione: ricaviamo dalla prima equazione, dalla seconda, e sostituiamo nelle altre



dunque



In definitiva, la matrice che soddisfa le richieste è



Ecco fatto!