Esistenza di una matrice partendo da autovalori e autovettori

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Esistenza di una matrice partendo da autovalori e autovettori #5531

avt
xavier310
Sfera
Cortesemente, potreste spiegarmi come si calcola una matrice conoscendone gli autovalori e gli autovettori? È un esercizio di preparazione all'esame di Algebra Lineare su cui sono fermo da giorni.

Scrivere una matrice A \in Mat(2,2,\mathbb{R}) che abbia come autovalori \lambda_1=1 e \lambda_2=-2 e come autovettori rispettivamente associati \mathbf{v}_1=(1,1) e \mathbf{v}_2=(2,-1).
 
 

Esistenza di una matrice partendo da autovalori e autovettori #5587

avt
Omega
Amministratore
Ricordiamo le definizioni di autovalore e autovettore di una matrice: uno scalare \lambda è un autovalore di una matrice quadrata A, e il vettore colonna non nullo \mathbf{v} è un rispettivo autovettore, se

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

Questo è quanto basta per risolvere l'esercizio proposto che chiede di scrivere una matrice A \in Mat(2,2,\mathbb{R}) che abbia come autovalori

\lambda_1=1 \ \ ; \ \ \lambda_2=-2

e come rispettivi autovettori

\mathbf{v}_1=(1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,-1)

Procediamo! Consideriamo una generica matrice A \in Mat(2,2,\mathbb{R})

A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}

\mathbf{v}_1=(1,1) è un autovettore associato all'autovalore \lambda_1=1 se e solo se

A \left(\mathbf{v}_1\right)^T = \lambda_1 \left(\mathbf{v}_1\right)^T \ \to \ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}

Svolgiamo il prodotto tra matrici a primo membro

\begin{pmatrix}a + b \\ c + d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}

e ricordiamo che due matrici sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, pertanto dev'essere

\begin{cases}a + b = 1 \\ c + d = 1\end{cases}

Mettiamo per un momento da parte queste condizioni e imponiamo che \mathbf{v}_2=(2,-1) sia un autovettore riferito all'autovalore \lambda_2=-2

A \left(\mathbf{v}_2\right)^T = \lambda_2 \left(\mathbf{v}_2\right)^T \ \to \ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}

da cui otteniamo che dev'essere

\begin{pmatrix}2a - b \\ 2c - d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2\end{pmatrix}

ossia

\begin{cases}2a - b=-4 \\ 2c - d=2\end{cases}

Risolviamo il sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite formato dalle condizioni trovate a abbiamo finito!

\begin{cases}a + b = 1 \\ c + d = 1 \\ 2a - b=-4 \\ 2c - d=2\end{cases}

Procediamo con il metodo di sostituzione: ricaviamo a dalla prima equazione, c dalla seconda, e sostituiamo nelle altre

\begin{cases}a = 1-b \\ c = 1-d \\ 2(1-b) - b=-4 \\ 2(1-d) - d=2\end{cases} \ \to \ \begin{cases}a = 1-b \\ c = 1-d \\ b=2 \\ d=0 \end{cases}

dunque

\begin{cases}a = 1-b=1-2=-1 \\ c = 1-d = 1-0 = 1 \\ b=2 \\ d=0 \end{cases}

In definitiva, la matrice A che soddisfa le richieste è

A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2 \\ 1&0\end{pmatrix}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, xavier310, antonios
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Os