Prodotto scalare in uno spazio di polinomi: definita positività, norma indotta e normalizzazione

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Prodotto scalare in uno spazio di polinomi: definita positività, norma indotta e normalizzazione #52967

avt
PasqualeAK
Cerchio
Potreste spiegarmi come si studia la definita positività, come si determina la norma indotta e come si normalizza un polinomio rispetto a un prodotto scalare definito su uno spazio di polinomi? Sono le richieste dell'esercizio che sto per proporvi...

Siano V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti reali e di grado minore o uguale a due, e \langle \ , \ \rangle : V \times V \to \mathbb{R} il prodotto scalare definito da:

\langle p(x) , q(x) \rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

Dopo aver verificato che è definito positivo determinare la norma indotta e normalizzare il polinomio

p(x)=-1+x+x^2
 
 

Prodotto scalare in uno spazio di polinomi: definita positività, norma indotta e normalizzazione #52970

avt
Galois
Amministratore
Ci viene assegnato il seguente prodotto scalare su \mathbb{R}_2[x]:

\langle p(x) , q(x) \rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

e dobbiamo: verificare che è definito positivo, determinare la norma indotta e normalizzare il polinomio

p(x)=-1+x+x^2


Verifica definita positività

\langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo se e solo se

\langle p(x) , p(x) \rangle > 0 \ \ \forall \ p(x) \in \mathbb{R}_2[x], \ p(x) \neq 0

Consideriamo, allora, un generico elemento non nullo dello spazio dei polinomi \mathbb{R}_2[x]

p(x)=a+bx+cx^2

e calcoliamo il prodotto scalare di p(x) con se stesso.

Osserviamo che:

p(0)=a \ \ ; \ \ p(1)=a+b+c \ \ ; \ \ p(-1)=a-b+c

pertanto

\\ \langle p(x) , p(x) \rangle = p(0)p(0)+p(1)p(1)+p(-1)p(-1) = \\ \\ = a^2+(a+b+c)^2+(a-b+c)^2

Una somma di tre quadrati è certamente non negativa ed è nulla se e solo se le basi dei quadrati sono contemporaneamente nulle, ossia se

\begin{cases}a=0 \\ a+b+c=0 \\ a-b+c=0\end{cases}

L'unica soluzione del sistema è quella banale

(a,b,c)=(0,0,0)

di conseguenza \langle \ , \ \rangle è definito positivo, infatti:

\langle p(x) , p(x) \rangle è positivo per ogni p(x) \in \mathbb{R}_2[x], \ p(x) \neq 0, ed è nullo se e solo se p(x)=0.


Norma indotta dal prodotto scalare

La norma indotta dal prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è quell'applicazione che a un generico polinomio p(x) \in \mathbb{R}_2[x] associa il numero reale non negativo dato dalla radice quadrata del prodotto scalare di p(x) con se stesso.

Più esplicitamente, se p(x)=a+bx+cx^2, allora:

\\ ||p(x)|| = \sqrt{\langle p(x), p(x)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{a^2+(a+b+c)^2+(a-b+c)^2}


Normalizzazione del polinomio

In generale, normalizzare un vettore \mathbf{v} rispetto a un prodotto scalare vuol dire determinare un nuovo vettore \mathbf{u} che abbia norma 1 e che sia linearmente dipendente da \mathbf{v}. All'atto pratico, si dimostra che

\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}

Alla luce di ciò, il polinomio normalizzato di

p(x)=-1+x+x^2

è

q(x)=\frac{p(x)}{||p(x)||}

Calcoliamo la norma di p(x). Questo polinomio è della forma

a+bx+cx^2 \ \ \mbox{ con } a=-1, \ b=1, \ c=1

cosicché

\\ ||p(x)|| = \sqrt{\langle p(x), p(x)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{a^2+(a+b+c)^2+(a-b+c)^2} = \\ \\ = \sqrt{1^2+(-1+1+1)^2+(-1-1+1)^2} = \\ \\ = \sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}

In definitiva:

q(x)=\frac{p(x)}{||p(x)||})=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1+x+x^2) = \\ \\ \\ = -\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}}x^2

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, PasqualeAK
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Os