Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52694

  • raskin
  • avt
  • Punto
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiutone per un esercizio sulla verifica degli spazi vettoriali emt
Dato un sottoinsieme di R^2

W={(a,b) appartiene ad R^2: 2a+b=0}

Dire se W è un sottospazio.

Io so che per dire se è un sottospazio deve essere chiuso per le operazioni di SOMMA e di PRODOTTO PER UNO SCALARE. Ma come faccio a dimostrarlo.. come devo procedere??GRAZIE MILLE! emt

 
 
 

Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52705

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Ok, il procedimento che proponi va bene! Infatti è coerente con la lezione sui sottospazi vettoriali.

Iniziamo con la chiusura rispetto alla somma. Prendiamo cioè w_1, w_2\in W, dimostreremo che la somma è in W, ovvero w_1+ w_2\in W.

Poiché w_1\in W allora soddisfa la condizione di appartenenza ovvero:

w_1= (a_1, b_1)\mbox{ con }2a_1 + b_1= 0\qquad (1)

Similmente per w_2

w_2= (a_2, b_2)\mbox{ con }2a_2 + b_2= 0\qquad (2)


Consideriamo ora la somma

w_1+ w_2= (a_1, b_1)+ (a_2, b_2)= (a_1+ a_2, b_1+ b_2)

Ci chiediamo a questo punto, il vettore somma soddisfa la condizione d'appartenenza? E ciò equivale a chiederci se

2(a_1+ a_2)+ b_1+ b_2= 0

ma questo è vero perché espandendo i conti abbiamo che

\overbrace{2a_1+b_1}^{=0\mbox{ per }(1)}+ \overbrace{2a_2+ b_2}^{=0\mbox{ per }(2)}= 0

Il vettore somma soddisfa la condizione di appartenenza imposta da W.

Ora rimane da dimostrare che:

\forall \lambda\in \mathbb{R} w\in W si ha che:

\lambda w\in W

Provaci un po' da solo emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois

Re: Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52768

  • raskin
  • avt
  • Punto
Ottimo.. io per la moltiplicazione ho fatto:

perso un x autovalore e w € W faccio: w = 2a+b xw= x(2a+b) allora

xw= 2ax+bx

prendo ax=f; bx=g allora xw=2f+g che € W..

GIUSTO?? Come trovo una base per W??? GRAZIE! emt

Re: Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52772

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Attenzione non ho parlato di autovalori emt

Vediamo un po' come procedere. Consideriamo uno scalare
\lambda\in\mathbb{R} e sia w=(a, b)\in W. Poiché w\in W allora soddisfa la condizione d'appartenenza ovvero:

w\in W \iff 2a + b= 0

(la somma del doppio della prima componente e la seconda deve dare zero).

Moltiplichiamo per un generico scalare \lambda\in\mathbb{R} il vettore w

\lambdaw= \lambda(a, b)= (\lambda a, \lambda b)

Il nuovo vettore soddisfa la condizione di partenza?

2\lambda a+\lambda b=^{?}0

Sì, infatti basta mettere in evidenza \lambda per ottenere:

\lambda \overbrace{(2a+ b)}^{=0}= 0

Poiché vale indipendentemente dal valore dello scalare, possiamo concludere che l'insieme dato è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2

Determiniamo una base del sottospazio vettoriale.

La condizione 2a+b=0 implica 2a= -b

Il vettore generico w=(a,b) si esprime anche come:

w= (a, -2a)= (1, -2)a

Il vettore (1,-2) compone la base del sottospazio.


B_{W}= \left\{(1, -2)\right\}

Ringraziano: Pi Greco, Galois, myfavouritefreakelle, jackmich

Re: Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52793

  • raskin
  • avt
  • Punto
Capitoooo! Grazie 1000!!!

PS: il vettore generico w=(a,b) perche lo posso esprimere come (a,-2a) ??

Re: Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52795

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Dalla condizione 2a+b= 0 segue che b= -2a, di conseguenza le componenti di un vettore generico w= (a, b)\in W si esprimono come:

w= (a, -2a)

e questo sempre grazie alla condizione di appartenenza all'insieme.

Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Stabilire se un sottoinsieme è un sottospazio, esercizio #52796

  • raskin
  • avt
  • Punto
Che tonto che sono stato... GRAZIE MILLE DAVVERO!

Ringraziano: Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os