Conica con parametro, come comportarsi con uno specifico valore

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Conica con parametro, come comportarsi con uno specifico valore #51347

avt
lightdraw
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per classificare una conica al variare di un parametro reale e definita mediante un'equazione in coordinate omogenee. Il secondo punto del problema mi chiede di stabilire il tipo di conica che passa per un punto proprio.

Al variare di k\in\mathbb{R} si consideri la conica \mathrm{C} di equazione omogenea:

\mathrm{C}:\ x_1^2+14x_1x_2+x_2^2-2kx_1x_3-2kx_2x_3+x_3^2=0

(a) Classificare la conica al variare del parametro k.

(b) Stabilire che tipo di conica è \mathrm{C} se passa per il punto proprio P(1,1,1).

Grazie.
 
 

Re: Conica con parametro, come comportarsi con uno specifico valore #51388

avt
Omega
Amministratore
Per classificare la conica \mathrm{C} di equazione in coordinate omogenee

\mathrm{C}:\ x_1^2+14x_1x_2+x_2^2-2kx_1x_3-2kx_2x_3+x_3^2=0

occorre innanzitutto esplicitare le cosiddette matrici associate alla conica:

- la matrice dei coefficienti

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

- la matrice dei termini quadratici

A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

dove

\bullet \ \ \ a_{11},\, a_{22},\, a_{33} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_{1}^{2}, quello del termine in x_{2}^2 e quello del termine in x_{3}^2;

\bullet\ \ \ a_{12},\, a_{13},\, a_{23} sono rispettivamente il coefficiente del termine in x_1x_2, il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} e quello del termine in x_2x_3, divisi per due.

Nel caso considerato:

- il coefficiente del termine in x_{1}^2 è a_{11}=1;

- il coefficiente del termine in x_{2}^2 è a_{22}=1;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{2} è 2a_{12}=14, da cui a_{12}=7;

- il coefficiente del termine in x_{1}x_{3} è 2a_{13}=-2k, da cui a_{13}=-k;

- il coefficiente del termine in x_{2}x_{3} è 2a_{23}=-2k, da cui a_{23}=-k;

- il coefficiente del termine in x_{3}^2 è a_{33}=1.

Grazie a questi valori siamo in grado di costruire le matrici simmetriche associate alla conica:

\\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&7&-k\\ 7&1&-k\\ -k&-k&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&7\\ 7&1\end{pmatrix}

In base al valore assunto dal determinante della matrice A, possiamo classificare \mathrm{C} in:

- conica degenere, se \mbox{det}(A)=0;

- conica generale, se \mbox{det}(A)\ne 0

Usando la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante di A è:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&7&-k\\ 7&1&-k\\ -k&-k&1\end{pmatrix}=-48+12k^2

A questo punto impostiamo l'equazione:

\mbox{det}(A)=0 \ \ \ \to \ \ \ -48+12k^2=0

le cui soluzioni sono:

k=-2\ \ \ \vee \ \ \ k=2

Possiamo quindi affermare che la conica è degenere se e solo se k=-2 oppure k=2, mentre è non degenere se k\ne -2 \ \wedge \ k\ne 2.


Classificazione della conica: casi degeneri

Se k=-2, le matrici associate alla conica diventano

\\ A=\begin{pmatrix}1&7&2\\ 7&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}1&7\\ 7&1\end{pmatrix}

Per classificare la conica nel caso degenere occorre determinare il rango della matrice A:

- se \mbox{rk}(A)=1, la conica è doppiamente degenere;

- se \mbox{rk}(A)=2, la conica è semplicemente degenere: in questa circostanza è possibile raffinare ulteriormente la classificazione studiando il segno del determinante di A_{33}.

• se \mbox{det}(A_{33})>0, la conica degenera in due rette immaginarie coniugate e non parallele;

• se \mbox{det}(A_{33})=0, la conica degenera in due rette parallele che possono essere reali e distinte, oppure immaginarie coniugate;

• se \mbox{det}(A_{33})<0, la conica degenera in due rette reali e non parallele.

Nel caso in esame, il rango di A è due, mentre il determinante di A_{33} è negativo, per cui \mathrm{C} è una conica semplicemente degenere e coincide con due rette reali e non parallele.

Per k=2 le matrici associate alla conica diventano

\\ A=\begin{pmatrix}1&7&-2\\ 7&1&-2\\ -2&-2&1\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}1&7\\ 7&1\end{pmatrix}

Poiché il rango di A è due e il determinante di A_{33} è negativo, anche in questo caso \mathrm{C} si spezza in due rette reali e non parallele.


Classificazione della conica: casi non degeneri

Per k\ne -2\ \mbox{e} \ k\ne 2, la conica è generale e può essere:

- un'ellisse, se \mbox{det}(A_{33})>0;

- una parabola, se \mbox{det}(A_{33})=0;

- un'iperbole, se \mbox{det}(A_{33})<0.

In questa circostanza, il determinante della matrice A_{33} non dipende da k ed è sempre negativo (vale -48) pertanto la conica è un'iperbole.

Per risolvere il punto (b), bisogna imporre la condizione di passaggio di \mathrm{C} per il punto proprio

P(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\tilde{x}_3)=(1,1,1)

P\in\mathrm{C} \ \iff \ 1^2+14\cdot 1\cdot 1+1^2-2k\cdot 1\cdot 1-2k\cdot 1\cdot 1+1^2=0

da cui

17-4k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{17}{4}

Poiché k=\frac{17}{4}\ne \pm 2, possiamo concludere che la conica \mathrm{C} passante per il punto P è un'iperbole.


Conclusioni

Riassumendo, possiamo concludere che:

• se k=-2 oppure se k=2, la conica è semplicemente degenere e si spezza in due rette reali e non parallele;

• se k\ne -2 \ \wedge \ k\ne 2, la conica è un'iperbole.

• la conica \mathrm{C} passante per il punto P è un'iperbole.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, lightdraw
  • Pagina:
  • 1
Os