Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane

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Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane #4963

avt
lolloviola
Frattale
In un esercizio mi viene chiesto di stabilire la posizione reciproca di due rette nello spazio e di calcolare in seguito la loro distanza. Ho studiato il paragrafo relativo alla distanza tra due rette nello spazio, ma non sono riuscito a capire come svolgere il problema.

Nello spazio R^3, munito del riferimento cartesiano standard Oxyz, sono date le rette r,s definite dalle equazioni:

r: x-2y+z = 1 ; 3x-y+z = 0 ; s: 2x+y-z = 0 ; x+3y+2z = 2

Dopo aver stabilito la posizione reciproca tra r e s, calcolare la distanza tra le due rette.

Grazie.
 
 

Re: Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane #62211

avt
Galois
Amministratore
Prima di calcolare la distanza tra due rette nello spazio, se non è nota, occorre stabilire la loro posizione reciproca.


Mutua posizione delle rette nello spazio

Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette r,s

r: x-2y+z = 1 ; 3x-y+z = 0 ; s: 2x+y-z = 0 ; x+3y+2z = 2

e verifichiamo se individuano rette sghembe o complanari.

Per farlo è sufficiente calcolare il determinante della matrice avente per righe i coefficienti delle equazioni di r e di s

M = [1 -2 1 1 ; 3 -1 1 0 ; 2 1 -1 0 ; 1 3 2 2]

Se det(M) ne 0, allora r,s sono rette sghembe, sono complanari in caso contrario.

Avvalendoci della formula di Laplace sviluppando lungo l'ultima colonna, scopriamo che il determinante di M è:

det(M) = det[1 -2 1 1 ; 3 -1 1 0 ; 2 1 -1 0 ; 1 3 2 2] = -35 ne 0

per cui r,s sono necessariamente sghembe.


Distanza tra due rette sghembe

Per ricavare la distanza tra r ed s abbiamo bisogno del piano contenente una retta e parallelo all'altra: in questa circostanza determineremo il piano contenente r e parallelo a s.

Prima di tutto scriviamo l'equazione del fascio con sostegno r: basta scrivere considerare la combinazione lineare non banale delle equazioni cartesiane dei piani che generano r

mathrmF: λ(x-2y+z-1)+μ(3x-y+z) = 0 ; (λ+3μ)x+(-2λ-μ)y+(λ+μ)z-λ = 0

dove λ,μ sono numeri reali non contemporaneamente nulli.

All'equazione del fascio associamo il vettore normale composto dai parametri direttori

n_(mathrmF) = (λ+3μ, -2λ-μ, λ+μ)

Il prossimo passaggio consiste nel determinare la relazione che lega λ e μ e che garantisce che π∈ mathrmF sia parallelo alla retta s.

Il piano del fascio π è parallelo alla retta s nel momento in cui è nullo il prodotto scalare tra il vettore normale n_(mathrmF) e un qualsiasi vettore direttore di s: va bene quello che si ottiene dal prodotto vettoriale tra il vettore normale al piano 2x+y-z = 0 e quello normale al piano x+3y+2z = 2

v_(s) = n_1×n_2 = (2,1,-1)×(1,3,2) = (5,-5,5)

A questo punto imponiamo l'equazione che garantisce il parallelismo tra la retta s e il piano π

n_(mathrmF)·v_(s) = 0 ; (λ+3μ,-2λ-μ, λ+μ)·(5,-5,5) = 0 ; 4λ+5μ = 0 → λ = -(5)/(4)μ

con μ ne 0. Sostituiamo λ = -(5)/(4)μ nell'equazione del fascio

-(5)/(4)μ(x-2y+z-1)+μ(3x-y+z) = 0

da cui

(μ)/(4)(7x+6y-z+5) = 0

Dividiamo i due membri per (μ)/(4) ne 0 ottenendo così l'equazione di π

π: 7x+6y-z+5 = 0

In accordo con la definizione, la distanza tra le rette sghembe r,s uguaglia quella tra π e un qualsiasi punto della retta s. A titolo di esempio prendiamo il punto

P(x_(P),y_(P),z_(P)) = (0,(2)/(5),(2)/(5))∈ s

e calcoliamo la distanza tra le rette con la formula:

d(r,s) = d(P,π) = (|ax_(P)+by_(P)+cz_(P)+d|)/(√(a^2+b^2+c^2)) = (|7·0+6·(2)/(5)-(2)/(5)+5|)/(√(7^2+6^2+(-1)^2)) = (7)/(√(86))

Abbiamo finito!
Ringraziano: atrox, sara.d, dennix91, Gianluca M
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Os