Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane

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Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane #4963

avt
lolloviola
Frattale
In un esercizio mi viene chiesto di stabilire la posizione reciproca di due rette nello spazio e di calcolare in seguito la loro distanza. Ho studiato il paragrafo relativo alla distanza tra due rette nello spazio, ma non sono riuscito a capire come svolgere il problema.

Nello spazio \mathbb{R}^3, munito del riferimento cartesiano standard Oxyz, sono date le rette r,s definite dalle equazioni:

\\ r: \ \begin{cases}x-2y+z=1 \\ 3x -y+z=0 \end{cases}\\ \\ \\ s: \ \begin{cases}2x+y-z=0 \\ x +3y+2z=2 \end{cases}

Dopo aver stabilito la posizione reciproca tra r e s, calcolare la distanza tra le due rette.

Grazie.
 
 

Re: Distanza tra due rette nello spazio note le equazioni cartesiane #62211

avt
Galois
Amministratore
Prima di calcolare la distanza tra due rette nello spazio, se non è nota, occorre stabilire la loro posizione reciproca.


Mutua posizione delle rette nello spazio

Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette r,s

\\ r:\ \begin{cases}x-2y+z=1\\ 3x-y+z=0\end{cases}\\ \\ \\ s:\ \begin{cases}2x+y-z=0\\ x+3y+2z=2\end{cases}

e verifichiamo se individuano rette sghembe o complanari.

Per farlo è sufficiente calcolare il determinante della matrice avente per righe i coefficienti delle equazioni di r e di s

M=\begin{pmatrix}1&-2&1&1\\ 3&-1&1&0\\ 2&1&-1&0\\ 1&3&2&2\end{pmatrix}

Se \mbox{det}(M)\ne 0, allora r,s sono rette sghembe, sono complanari in caso contrario.

Avvalendoci della formula di Laplace sviluppando lungo l'ultima colonna, scopriamo che il determinante di M è:

\mbox{det}(M)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-2&1&1\\ 3&-1&1&0\\ 2&1&-1&0\\ 1&3&2&2\end{pmatrix}=-35\ne 0

per cui r,s sono necessariamente sghembe.


Distanza tra due rette sghembe

Per ricavare la distanza tra r ed s abbiamo bisogno del piano contenente una retta e parallelo all'altra: in questa circostanza determineremo il piano contenente r e parallelo a s.

Prima di tutto scriviamo l'equazione del fascio con sostegno r: basta scrivere considerare la combinazione lineare non banale delle equazioni cartesiane dei piani che generano r

\\ \mathrm{F}: \ \lambda(x-2y+z-1)+\mu(3x-y+z)=0 \\ \\ (\lambda+3\mu)x+(-2\lambda-\mu)y+(\lambda+\mu)z-\lambda=0

dove \lambda,\mu sono numeri reali non contemporaneamente nulli.

All'equazione del fascio associamo il vettore normale composto dai parametri direttori

\mathbf{n}_{\mathrm{F}}=(\lambda+3\mu,\ -2\lambda-\mu, \ \lambda+\mu)

Il prossimo passaggio consiste nel determinare la relazione che lega \lambda e \mu e che garantisce che \pi\in\mathrm{F} sia parallelo alla retta s.

Il piano del fascio \pi è parallelo alla retta s nel momento in cui è nullo il prodotto scalare tra il vettore normale \mathbf{n}_{\mathrm{F}} e un qualsiasi vettore direttore di s: va bene quello che si ottiene dal prodotto vettoriale tra il vettore normale al piano 2x+y-z=0 e quello normale al piano x+3y+2z=2

\\ \mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(2,1,-1)\times (1,3,2)= \\ \\ = (5,-5,5)

A questo punto imponiamo l'equazione che garantisce il parallelismo tra la retta s e il piano \pi

\\ \mathbf{n}_{\mathrm{F}}\cdot\mathbf{v}_{s}=0\\ \\ (\lambda+3\mu, -2\lambda-\mu, \lambda+\mu)\cdot (5,-5,5)=0\\ \\ 4\lambda+5\mu=0 \ \ \ \to \ \ \ \lambda=-\frac{5}{4}\mu

con \mu\ne 0. Sostituiamo \lambda=-\frac{5}{4}\mu nell'equazione del fascio

-\frac{5}{4}\mu(x-2y+z-1)+\mu(3x-y+z)=0

da cui

\frac{\mu}{4}(7x+6y-z+5)=0

Dividiamo i due membri per \frac{\mu}{4}\ne 0 ottenendo così l'equazione di \pi

\pi:\ 7x+6y-z+5=0

In accordo con la definizione, la distanza tra le rette sghembe r,s uguaglia quella tra \pi e un qualsiasi punto della retta s. A titolo di esempio prendiamo il punto

P(x_{P},y_{P},z_{P})=\left(0,\frac{2}{5},\frac{2}{5}\right)\in s

e calcoliamo la distanza tra le rette con la formula:

\\ d(r,s)=d(P,\pi)=\\ \\ \\ =\frac{|ax_{P}+by_{P}+cz_{P}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\\ \\ \\ =\frac{\left|7\cdot 0+6\cdot\frac{2}{5}-\frac{2}{5}+5\right|}{\sqrt{7^2+6^2+(-1)^2}}=\frac{7}{\sqrt{86}}

Abbiamo finito!
Ringraziano: atrox, sara.d, dennix91, Gianluca M
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Os