Discutere sistema con parametri k,h

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Discutere sistema con parametri k,h #4958

avt
matteo
Sfera
Potreste indicarmi il metodo generale per discutere il seguente sistema lineare al variare dei due parametri h,k ?

In questo esercizio come si fa?

2x+5y-z = 1 ; x+(2k-2)+(2h-1)z = 1 ; 4x+y+z = 1

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Discutere sistema con parametri k,h #5045

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Matteo,

Il procedimento si basa sostanzialmente sull'applicazione del teorema di Rouché-Capelli.

Il primo passo è quello di costruire la matrice incompleta, o matrice dei coefficienti:

A = [2 5 -1 ; 1 2k-2 2h-1 ; 4 1 1]

Calcoliamo il determinante:

det(A) = 12k+36h-36

Esso si annulla se e solo se:

k = 3-3h

Quando il determinate è diverso da zero, k ne 3-3h il rango della matrice A è massimo, vale 3, quindi il sistema ammette sicuramente soluzioni (a te il semplice compito di stabilire quante sono emt )


Ora dobbiamo concentrarci nel caso in cui k = 3-3h.

La matrice A diventa:

A = [2 5 -1 ; 1 4-6h 2h-1 ; 4 1 1]

Il rango della matrice dei coefficienti in questo caso sarà sicuramente minore di 3. Usiamo il teorema di Kronecker. Consideriamo il sottomatrice di ordine 2:

M_2 = [2 5 ; 4 1]

Si ottiene intersecando la prima e la terza riga con la prima e la seconda colonna.

Il determinate è

minore = det(M_2) = -8 ne 0

Necessariamente la matrice A ha rango 2, orlandola otterremmo la matrice A che ha determinante nullo.

A questo punto consideriamo la matrice completa:

(A|b) = [2 5 -1 |1 ; 1 4-6h 2h-1 |1 ; 4 1 1 |1]

Partendo sempre dalla sottomatrice M_2 otterremo due sotto matrici di ordine tre:

M'_3 = [2 5 1 ; 1 4-6h 1 ; 4 1 1]

M'_3 ha rango sicuramente compreso tra 2 e 3. In questo caso indagheremo quando ha rango massimo, verificando che il determinante sia diverso da zero:

det(M_3') = 6+12 h ne 0 ⇔ h ne-(1)/(2)

Per h ne-(1)/(2) , det(M_3') ne 0 questo implica che il rango della matrice completa è 3.

In tal caso:
2 = rank(A) < rank(A|b) = 3

Il sistema è incompatibile.

Per h = -(1)/(2) la matrice (A|b) diventa:

(A|b) = [2 5 -1 |1 ; 1 7 -2 |1 ; 4 1 1 |1]

che ha rango 2, quindi uguale a quello della matrice incompleta. In questo caso il sistema è compatibile ed ha ∞^(3-2) = ∞^(1) soluzioni.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, matteo
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Os