Inversa e trasposta commutano, intese come operazioni su matrici?

Ciao, volevo sapere se matrice inversa e matrice trasposta commutano intendendole come operazioni matriciali. Vale a dire, è vero che



?

Implicitamente suppongo che sia una matrice invertibile.

Osserva che per definizione di inversa hai che:



Effettuando la trasposta membro a membro:



Ricordiamo che: allora:



sostituendo abbiamo che:



Poiché A è invertibile allora anche lo è,
moltiplichiamo a sinistra membro a membro per



Da cui:



Cioè inversa e trasposta commutano.

Grazie!!
Anche avendo usato passaggi semplici non ci sarei mai arrivato.