Trovare la matrice associata all'applicazione lineare partendo dalle due basi

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Trovare la matrice associata all'applicazione lineare partendo dalle due basi #4922

avt
xavier310
Sfera
Buonasera ragazzi. Ho bisogno del vostro aiuto nel capire come svolgere alcune operazioni su questo endomorfismo

Sia B=\{e_1+e_2,e_1-e_2\} base di \mathbb{R}^2

Ho questa applicazione lineare

T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2

tale che

T\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 \\ -1 \end{vmatrix}

T\begin{vmatrix} 1 \\ -1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 9 \\ -3 \end{vmatrix}

Sopratutto vorrei capire come trovare la matrice associata all'applicazione lineare????

\begin{vmatrix} 3 \\ -1 \end{vmatrix} e \begin{vmatrix} 9 \\ -3 \end{vmatrix}

sono la base dell'immagine?

Ma ciò che mi preme di più e sapere come ho già detto come trovare la matrice associata all'applicazione lineare
 
 

Re: Trovare la matrice associata all'applicazione lineare partendo dalle due basi #5070

avt
Neumann
Cerchio
Bè, allora tu sai che la matrice associata di una applicazione lineare ti permette di scrivere l'applicazione per mezzo del prodotto matriciale in modo Ax=x'. Per ricavarla ti bastano in questo caso due vettori indipendenti dello spazio di partenza, dunque, in generale, una base. Devi allora trasformarli ed ottieni due vettori nello spazio di arrivo. Bene, ora basta esprimere tali vettori trasformati rispetto le basi dello spazio di partenza, dunque avrai:

(3; -1)=1b+2c
(9; -3)=3b+6c dove b & c sono la base di partenza

allora la matrice associata è formata dalle componenti della base trasformata, rispetto alla base non trasformata, cioè

1 3
2 6

Vuoi sapere se la base trasformata è una base dell'immagine? In genere non sempre, vedi in questo caso, hai 2 vettori dipendenti, quindi decisamente non si tratta di una base. Tale applicazione diciamo che fa "collassare" una dimensione sull'altra, perchè trasforma vettori ortogonali in vettori dipendenti, dunque l'immagine avrà dimensione 1. La base è data da uno solo dei due vettori trasformati.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, xavier310

Re: Trovare la matrice associata all'applicazione lineare partendo dalle due basi #5499

avt
xavier310
Sfera
Grazie Neumann emt sei stato chiarissimo emt

Re: Trovare la matrice associata all'applicazione lineare partendo dalle due basi #5514

avt
Neumann
Cerchio
Bè, grazie a te!
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Os