Matrice non diagonalizzabile

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Matrice non diagonalizzabile #4914

avt
matteo
Sfera
Quando una matrice non è diagonalizzabile? Devo risolvere un esercizio in cui si chiede di verificare che una matrice non è diagonalizzabile in \mathbb{R}, ma non so come procedere.

Verificare che la matrice

A=\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix}

non è diagonalizzabile in \mathbb{R} specificando il motivo per cui non lo è.
 
 

Re: Matrice non diagonalizzabile #4923

avt
Ifrit
Amministratore
Affinché una matrice A sia diagonalizzabile deve essere soddisfatto il teorema di diagonalizzabilità, secondo cui A è diagonalizzabile in un campo \mathbb{K} se e solo se:

- il numero degli autovalori di A appartenenti a \mathbb{K} e contati con le rispettive molteplicità, è uguale all'ordine della matrice;

- la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con la rispettiva molteplicità geometrica.

Se almeno una di queste due condizioni non è verificata, A non è diagonalizzabile in \mathbb{K}.

Riportiamo la matrice assegnata

A=\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix}

e calcoliamone gli autovalori, dati dagli zeri del polinomio caratteristico.

\\ p_A(\lambda) = \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]=

Svolgiamo la differenza matriciale

=\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & -1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=

e calcoliamo il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna, in quanto ha due termini nulli

\\ =(-1)^{1+1} \cdot (1-\lambda) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ = (1-\lambda) \cdot [(-1-\lambda)(1-\lambda)+1]= \\ \\ = (1-\lambda) \cdot (\lambda^2-1+1)

In breve

p_A(\lambda)=\lambda^2(1-\lambda)

I suoi zeri, e quindi gli autovalori di A sono:

\lambda_0= 0, con molteplicità algebrica 2;

\lambda_1=1, con molteplicità algebrica 1.

Entrambi appartengono a \mathbb{R} e la somma delle loro molteplicità è uguale all'ordine della matrice, dunque la prima condizione del teorema di diagonalizzabilità è soddisfatta.

Procediamo ora al calcolo delle molteplicità geometriche, partendo da quella di \lambda_0, data da

m_g(\lambda_0)=n-\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_3)

dove n è l'ordine di A, e quindi è pari a 3. Osserviamo poi che \lambda_0= 0, per cui il prodotto \lambda_0 \mbox{Id}_3 restituisce la matrice nulla; di conseguenza

m_g(\lambda_0)=n-\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_3)=3-\mbox{rk}(A)

Per calcolare il rango di A usiamo il criterio dei minori.

Il suo determinante è uguale a zero, come si può vedere applicando Laplace riferito alla prima colonna

\\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&-1 \\ 1&1\end{pmatrix} = \\ \\ = 1 \cdot (-1+1) = 0

Il minore di ordine due ottenuto dall'eliminazione della terza riga e della terza colonna di A è non nullo

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ 0&-1\end{pmatrix} = -1-0 = -1

pertanto il rango di A è 2, e quindi

m_g(\lambda_0)=3-\mbox{rk}(A)=3-2=1

La molteplicità geometrica di \lambda_0 è allora diversa da quella algebrica, e quindi A non è diagonalizzabile in \mathbb{R} perché non è soddisfatta la seconda condizione del teorema di diagonalizzabilità.

Fine!
Ringraziano: frank094, matteo
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Os