Trovare l'angolo tra due piani

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Trovare l'angolo tra due piani #4903

avt
lolloviola
Frattale
Dovrei calcolare l'angolo tra due piani, sapendo che i vettori ortogonali siano orientati. Da quello che ho capito a lezione, dovrei determinare i vettori normali ai due piani, orientandoli in modo che rispettino la condizione imposta dalla traccia, e in seguito calcolare l'angolo che questi formano, è corretto?

Fissato il sistema di riferimento ortogonale RC(O, x, y, z) nello spazio tridimensionale \mathbb{R}^3, trovare l'angolo tra i piani di equazioni cartesiane

\\ \pi_1: \ 3x-y+z-1=0\\ \\ \pi_2: \ x+y-2z-10=0

scegliendo i loro vettori normali in modo che abbiano terza componente positiva.

Come si fa?
 
 

Trovare l'angolo tra due piani #4920

avt
Omega
Amministratore
Per determinare l'angolo tra i piani

\\ \pi_1:\ 3x-y+z-1=0\\ \\ \pi_2:\ x+y-2z-10=0

scegliamo un vettore normale a \pi_1 e uno normale a \pi_2: vanno benissimo i vettori dei coefficienti direttori

\mathbf{n}_{1}=(a,b,c)=(3,-1,1)

composto dai coefficienti di x,y,z dell'equazione di \pi_1

\mathbf{n}_{2}=(a',b',c')=(1,1,-2)

composto dai coefficienti dell'equazione di \pi_2.

A questo punto, stabiliamo se \mathbf{n}_1\ \mbox{e} \ \mathbf{n}_2 rispettano la condizione della traccia: le normali devono essere scelte in modo che la terza componente sia positiva.

Per quanto concerne \mathbf{n}_1, la sua terza componente è positiva e va quindi bene per i nostri scopi. \mathbf{n}_2, d'altra parte, ha terza componente negativa, per cui prendiamo in considerazione il vettore opposto:

\mathbf{n}_2'=-\mathbf{n}_{2}=(-1,-1,2)

In accordo con la definizione, l'angolo tra i due piani coincide con l'angolo tra i vettori normali orientati:

\widehat{\pi_1\pi_2}=\widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'}

dove \widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'} si ricava mediante la formula

\cos(\widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'})=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2'}{||\mathbf{n}_1||\ ||\mathbf{n}_2'||}

In altri termini, il coseno dell'angolo tra \mathbf{n}_1\ \mbox{e}\ \mathbf{n}_2' è il rapporto tra il prodotto scalare tra i vettori e il prodotto delle loro norme euclidee.

Calcoliamo \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2'

\\ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2'=(3,-1,1)\cdot(-1,-1,2)= \\ \\ =3\cdot(-1)+(-1)\cdot (-1)+1\cdot 2=-3+1+2=0

e le norme di \mathbf{n}_1 \ \mbox{e} \ \mathbf{n}_2'

\\ ||\mathbf{n}_1||=\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{11}\\ \\ ||\mathbf{n}_2'||=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}

Con queste espressioni siamo in grado di esplicitare l'equazione goniometrica con cui calcoleremo l'angolo convesso tra i due vettori:

\cos(\widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'})=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2'}{||\mathbf{n}_1||\ ||\mathbf{n}_2'||}\ \ \ \to \ \ \ \cos(\widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'})=0

da cui

\widehat{\mathbf{n}_1\mathbf{n}_2'}=\frac{\pi}{2}=\widehat{\pi_1\pi_2}

In definitiva, l'angolo è \frac{\pi}{2}, pertanto \pi_1\ \mbox{e} \ \pi_2 sono piani ortogonali.
Ringraziano: Pi Greco, frank094, matteo
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Os