Trovare la matrice associata all'applicazione lineare

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Trovare la matrice associata all'applicazione lineare #4753

avt
lolloviola
Frattale
Come posso fare per trovare la matrice associata alla seguente applicazione lineare rispetto a due basi diverse?

f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

f(x,y) = (2x-y, 3x+y)

Calcolare la matrice rappresentativa relativamente alle basi B=\{(1,2),(2,0)\} e B'=\{(1,2),(0,6)\}.

Come posso fare a risolvere queste esercizio? Non ho proprio idea nemmeno di come partire!
 
 

Trovare la matrice associata all'applicazione lineare #4775

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lolloviola, trovare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla prima base è semplice (click per il metodo), mentre per quanto riguarda la seconda faremo riferimento alla matrice di cambiamento di base.


Per scrivere la matrice rappresentativa di

f(x,y)=(2x-y,3x+y)

rispetto alla base \{v_1,v_2\}=\{(1,2),(2,0)\} prima di tutto determiniamo la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica \{e_1,e_2\}. Per farlo, basta considerare la matrice che realizza l'immagine mediante prodotto scalare, e quindi

A=\left[\begin{matrix}2&-1\\ 3&1\end{matrix}\right]

Ora ci serve la matrice del cambiamento di base N che permette da passare dalla base canonica alla base \{v_1,v_2\}.

In generale, se A_{\mathbb{B}_1} è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alla base \mathbb{B}_1 e N la matrice che permette di passare dalla base canonica alla nuova base \mathbb{B}_2, allora vale la relazione

A_{\mathbb{B}_1}=N^{-1}A_{\mathbb{B}_2}N

da cui ricaviamo

A_{\mathbb{B}_2}=NA_{\mathbb{B}_1}N^{-1}

dove N^{-1} indica l'inversa della matrice N.

Nel nostro caso la matrice N^{-1} si ottiene disponendo per colonne i vettori della nuova base. In particolare, la matrice ottenuta disponendo i vettori della nuova base per colonna permette di passare dalla nuova base alla base di partenza, nel nostro caso alla base canonica.

N^{-1}=\left[\begin{matrix}1&2\\ 2&0\end{matrix}\right]

Non resta che calcolare l'inversa di tale matrice, che risulta

N=\left[\begin{matrix}0&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right]

e che effettua il passaggio dalla base canonica alla nuova base.

Non resta che calcolare, secondo l'usuale prodotto riga per colonna

A_{\{v_1,v_2\}}=NAN^{-1}

per trovare la rappresentazione della matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla nuova base. Calcoliamo il prodotto tra le matrici

A_{\{v_1,v_2\}}=\left[\begin{matrix}0&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2&-1\\ 3&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&2\\ 2&0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0&4\\ 5&6\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{5}{2}&3\\ -\frac{5}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right]

---

Consideriamo la base \{w_1,w_2\}=\{(1,2),(0,6)\} e procediamo come prima. Prendiamo la matrice che permette di passare dalla base

\{w_1,w_2\}=\{(1,2),(0,6)\}

alla base canonica, e che si ottiene semplicemente disponendo per colonna i vettori della nuova base

M^{-1}=\left[\begin{matrix}1&0\\ 2&6\end{matrix}\right]

Calcoliamone l'inversa M, che permette di passare dalla base canonica alla nuova base:

M=\left[\begin{matrix}1&0\\ -\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right]

ed infine calcoliamo il prodotto

A_{\{w_1,w_2\}}=MAM^{-1}

A_{\{w_1,w_2\}}=\left[\begin{matrix}1&0\\ -\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2&-1\\ 3&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&0\\ 2&6\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\ -\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0&-6\\ 5&6\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&-6\\ \frac{5}{6}&3\end{matrix}\right]

Ecco fatto. emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, CarFaby, Shamat, Swan31, Rac

Trovare la matrice associata all'applicazione lineare #5032

avt
lolloviola
Frattale
Tutto chiarissimo, grazie mille! emt
Ringraziano: Shamat, Kyos
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Os