Trovare la matrice associata all'applicazione lineare

Come posso fare per trovare la matrice associata alla seguente applicazione lineare rispetto a due basi diverse?





Calcolare la matrice rappresentativa relativamente alle basi e .

Come posso fare a risolvere queste esercizio? Non ho proprio idea nemmeno di come partire!

Ciao Lolloviola, trovare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla prima base è semplice (click per il metodo), mentre per quanto riguarda la seconda faremo riferimento alla matrice di cambiamento di base.


Per scrivere la matrice rappresentativa di



rispetto alla base prima di tutto determiniamo la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica . Per farlo, basta considerare la matrice che realizza l'immagine mediante prodotto scalare, e quindi



Ora ci serve la matrice del cambiamento di base che permette da passare dalla base canonica alla base .

In generale, se è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alla base e la matrice che permette di passare dalla base canonica alla nuova base , allora vale la relazione



da cui ricaviamo



dove indica l'inversa della matrice .

Nel nostro caso la matrice si ottiene disponendo per colonne i vettori della nuova base. In particolare, la matrice ottenuta disponendo i vettori della nuova base per colonna permette di passare dalla nuova base alla base di partenza, nel nostro caso alla base canonica.



Non resta che calcolare l'inversa di tale matrice, che risulta



e che effettua il passaggio dalla base canonica alla nuova base.

Non resta che calcolare, secondo l'usuale prodotto riga per colonna



per trovare la rappresentazione della matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla nuova base. Calcoliamo il prodotto tra le matrici



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Consideriamo la base e procediamo come prima. Prendiamo la matrice che permette di passare dalla base



alla base canonica, e che si ottiene semplicemente disponendo per colonna i vettori della nuova base



Calcoliamone l'inversa , che permette di passare dalla base canonica alla nuova base:



ed infine calcoliamo il prodotto





Ecco fatto.

Tutto chiarissimo, grazie mille!