Complemento diretto di un sottospazio

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Complemento diretto di un sottospazio #4741

avt
sebyspi
Cerchio
Vorrei usare un esercizio per cercare di comprendere il metodo di calcolo del complemento diretto di un sottospazio. Pur avendo studiato la parte teorica, gli esercizi mi spiazzano. Vi chiedo, se possibile, di risolvere l'esercizio che proposto nel modo più dettagliato possibile.

Individuare un complemento diretto del seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4

S=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y+z=y+z-t=0\}
 
 

Complemento diretto di un sottospazio #4745

avt
Galois
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio facciamo qualche premessa teorica.

Siano V uno spazio vettoriale e S un sottospazio di V. Individuare un complemento diretto di S vuol dire determinare un sottospazio supplementare di S, ossia trovare un nuovo sottospazio T di V tale che S \oplus T = V, dove \oplus indica la somma diretta.

In termini ancora più espliciti, il complemento diretto di S è un sottospazio T di V tale che:

- il sottospazio somma S+T coincide con V;

- il sottospazio intersezione S \cap T contiene il solo vettore nullo.

All'atto pratico, per trovare il complemento diretto T di S dobbiamo calcolare una base \mathcal{B} di S e completarla a base di V. I vettori aggiunti formano una base di T e non dobbiamo fare altro.

Siamo ora pronti a risolvere l'esercizio, che chiede di individuare un complemento diretto del sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4

S=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y+z=y+z-t=0\}

Dividiamo lo svolgimento in due parti: nella prima calcoleremo una base di S, nella seconda completeremo la base trovata a base di \mathbb{R}^4 e formeremo un complemento diretto di S.


Calcolo di una base di S

Per calcolare una base di S è sufficiente determinare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo formato dalle equazioni che definiscono S

\begin{cases}x-y+z=0 \\ y+z-t=0\end{cases}

La matrice dei coefficienti associata al sistema è

A=\begin{pmatrix}1&-1&0&1 \\ 0&1&1&-1\end{pmatrix}

ed ha rango 2, cosicché il sistema ammette \infty^{4-2}=\infty^2 soluzioni, dove 4 è il numero di incognite.

Per calcolarle assegniamo alle incognite z e t il ruolo di parametro libero e risolviamo il sistema

\begin{cases}x-y+z=0 \\ y+z-t=0 \\ z=a \\ t=b\end{cases} \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

Sostituiamo z e t nelle prime due equazioni, ed esplicitiamo la seconda in favore di y e la prima in favore di x

\begin{cases}x-y+a=0 \\ y+a-b=0 \\ z=a \\ t=b\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x=y-a \\ y=-a+b \\ z=a \\ t=b\end{cases}

Sostituiamo y=-a+b nella prima equazione e ci siamo!

\begin{cases}x=y-a=-a+b-a=-2a+b \\ y=-a+b \\ z=a \\ t=b\end{cases}

Le \infty^2 soluzioni sono

\\ (x,y,z,t)=(-2a+b, \ -a+b, \ a, \ b) = \\ \\ = a(-2,-1,1,0) + b(1,1,0,1) \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

di conseguenza una base dello spazio delle soluzioni del sistema, nonché una base di S è

\mathcal{B}_S=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}

con

\mathbf{v}_1=(-2,-1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,0,1).


Completamento a base e costruzione di un complemento diretto di S

Il passo successivo prevede di completare \mathcal{B}_S a base di \mathbb{R}^4. Facciamolo servendoci dell'algoritmo di completamento a base.

Prendiamo la base canonica di \mathbb{R}^4

\\ \mathcal{C} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4\} = \\ \\ = \{(1,0,0,0), \ (0,1,0,0), \ (0,0,1,0), \ (0,0,0,1)\}

e consideriamo l'insieme formato dai vettori di \mathcal{B}_S e dai vettori di \mathcal{C} che, evidentemente, è un sistema di generatori di \mathbb{R}^4

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4\}

Estraiamone una base col metodo degli scarti successivi.

I primi due vettori sono linearmente indipendenti tra loro, infatti formano una base di S, e quindi li teniamo entrambi.

Il terzo vettore è indipendente dai primi due, tant'è vero che la matrice che ha per righe le componenti dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_1 ha rango uguale a 3

\mbox{rk}\begin{pmatrix}-2&-1&1&0 \\ 1&1&0&1 \\ 1&0&0&0\end{pmatrix} = 3

Per convincersene basta considerare il minore che si ottiene dall'eliminazione dell'ultima colonna e osservare che è non nullo.

Infine, anche \mathbf{e}_2 è linearmente indipendente da \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_1, infatti la matrice

\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2 \\ \mathbf{e}_1 \\ \mathbf{e}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&-1&1&0 \\ 1&1&0&1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\end{pmatrix}

ha determinante diverso da zero, e quindi il suo rango è 4.

In conclusione, una base di \mathbb{R}^4 che contiene i vettori di \mathcal{B}_S è

\mathcal{B}_{\mathbb{R}^4} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}

per cui il complemento diretto di S è il sottospazio generato dai vettori \mathbf{e}_1 ed \mathbf{e}_2:

T=\mbox{Span}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2).

Fine!
Ringraziano: Pi Greco
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Os