Base ortonormale rispetto a un determinato prodotto scalare

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Base ortonormale rispetto a un determinato prodotto scalare #46870

avt
Robbi
Punto
Disponendo di un prodotto qualsiasi e di una base, cosa dovrei fare per stabilire se la base è ortonormale? È la richiesta di un esercizio preso dal capitolo del mio libro dedicato a forme bilineari e prodotti scalari.

Sia \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^3 definita da

\mathcal{B}=\{(1,-2,0), \ (-1,0,-2), \ (0,-2,-1)\}

Stabilire se \mathcal{B} è una base ortonormale rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}^3:

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = 5x_1y_1+4x_1y_3+5x_2y_2+2x_2y_3+4x_3y_1+2x_3y_2+5x_3y_3
 
 

Base ortonormale rispetto a un determinato prodotto scalare #46943

avt
Omega
Amministratore
Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione n, \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare definito positivo su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V.

\mathcal{B} è una base ortonormale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle se e solo se:

- è una base ortogonale, ossia i vettori che la definiscono sono a due a due ortogonali rispetto a \langle \ , \ \rangle:

\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = 0 \ \ \forall \ i,j \in \{1,2,...,n\}, \ i \neq j

- ogni vettore di \mathcal{B} ha norma 1:

||\mathbf{v}_i|| = 1 \ \ \forall \ i \in \{1,2,...,n\}

dove || \cdot || è la norma indotta dal prodotto scalare \langle \ , \ \rangle.

Alla luce di ciò stabiliamo, come richiesto dall'esercizio, se

\mathcal{B}=\{(1,-2,0), \ (-1,0,-2), \ (0,-2,-1)\}

è una base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo:

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = 5x_1y_1+4x_1y_3+5x_2y_2+2x_2y_3+4x_3y_1+2x_3y_2+5x_3y_3

Calcoliamo il prodotto scalare tra i primi due vettori di \mathcal{B}:

\\ \langle (1,-2,0),(-1,0,-2) \rangle = \\ \\ = 5 \cdot 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 \cdot (-2) + 5 \cdot (-2) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) \cdot (-2) + \\ \\ + 4 \cdot 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 \cdot 0 + 5 \cdot 0 \cdot (-2)= \\ \\ = -5-8+8 = -5

Poiché il prodotto scalare tra due vettori distinti di \mathcal{B} è diverso da zero, \mathcal{B} non è una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto a \langle \ , \ \rangle e, di conseguenza, non è neanche ortonormale.

Con questo è tutto!
Ringraziano: Pi Greco, Robbi
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Os