Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di matrici

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Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di matrici #46634

avt
Angela
Cerchio
Assegnato un prodotto scalare definito su uno spazio vettoriale di matrici viene chiesto di calcolare la matrice associata rispetto alla base canonica, verificare che è definito positivo, determinare la norma indotta, mettere in evidenza una base ortonormale e calcolare la norma di una matrice. Sono consapevole che è molto laborioso, ma sono davvero disperato e vi chiedo di darmi una mano...

Si consideri lo spazio vettoriale M_2(\mathbb{R}) delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali e sia \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su M_2(\mathbb{R}) definito da:

\langle A , B \rangle = \sum_{i,j=1}^2 a_{ij}b_{ij}

(a) Si calcoli la matrice associata rispetto alla base canonica di M_2(\mathbb{R});

(b) si verifichi che è definito positivo;

(c) si determini la norma indotta e si metta in evidenza una base ortonormale di M_2(\mathbb{R});

(d) si calcoli la norma della matrice

D=\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 2 & 3\end{pmatrix}
 
 

Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di matrici #46645

avt
Omega
Amministratore
Indichiamo con M_2(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali e sia \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su M_2(\mathbb{R}) definito da:

\langle A , B \rangle = \sum_{i,j=1}^2 a_{ij}b_{ij}

Più esplicitamente

\langle A , B \rangle = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{12} + a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22}

Come richiesto dall'esercizio:

- calcoliamo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica di M_2(\mathbb{R});

- verifichiamo che il prodotto scalare è definito positivo;

- determiniamo la norma indotta mettendo in evidenza una base ortonormale di M_2(\mathbb{R});

- calcoliamo la norma della matrice

D=\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 2 & 3\end{pmatrix}


Matrice associata al prodotto scalare

La base canonica di M_2(\mathbb{R}) è

\mathcal{C}=\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}

dove E_{ij} è una matrice quadrata di ordine due che ha tutti gli elementi nulli ad eccezione di quello di posto (i,j), che vale 1, ossia

\\ E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ora, la matrice associata a \langle \ , \ \rangle è la matrice di ordine 4 così definita:

M=\begin{pmatrix}\langle E_{11},E_{11} \rangle & \langle E_{11},E_{12} \rangle & \langle E_{11},E_{21} \rangle & \langle E_{11},E_{22} \rangle \\ \\ \langle E_{12},E_{11} \rangle & \langle E_{12},E_{12} \rangle & \langle E_{12},E_{21} \rangle & \langle E_{12},E_{22} \rangle \\ \\ \langle E_{21},E_{11} \rangle & \langle E_{21},E_{12} \rangle & \langle E_{21},E_{21} \rangle & \langle E_{21},E_{22} \rangle \\ \\ \langle E_{22},E_{11} \rangle & \langle E_{22},E_{12} \rangle & \langle E_{22},E_{21} \rangle & \langle E_{22},E_{22} \rangle\end{pmatrix}

Calcoliamone gli elementi.

Il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle associa a due matrici quadrate di ordine 2 lo scalare che si ottiene dalla somma tra i prodotti degli elementi che occupano la stessa posizione, per cui non è difficile convincersi che:

\langle E_{11},E_{11} \rangle = \langle E_{12},E_{12} \rangle = \langle E_{21},E_{21} \rangle = \langle E_{22},E_{22} \rangle = 1

mentre tutti gli altri elementi di M sono nulli.

In buona sostanza M è la matrice identità di ordine 4:

M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}


Verifica della definita positività del prodotto scalare

In generale, un prodotto scalare è definito positivo se è tale una delle matrici a esso associate rispetto a una base qualsiasi dello spazio vettoriale su cui è definito.

Nel nostro caso, una delle matrici associate al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è la matrice identità di ordine 4, che è una matrice definita positiva: i suoi autovalori, che coincidono con gli elementi della diagonale principale, sono tutti positivi.

Da ciò segue che \langle \ , \ \rangle è definito positivo e possiamo procedere oltre.


Norma indotta e base ortonormale

La norma indotta da \langle \ , \ \rangle è la funzione:

|| \cdot || : M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

che a ogni matrice A \in M_2(\mathbb{R}) associa lo scalare che si ottiene dalla radice quadrata del prodotto scalare di A con se stessa, dunque

||A||=\sqrt{\langle A,A \rangle} = \sqrt{a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{21}^2 + a_{22}^2}

Ricordiamo, poi, che una base è ortonormale rispetto a un fissato prodotto scalare se e solo se i suoi elementi sono a due a due ortogonali e se ciascuno di essi ha norma 1.

Nel calcolo della matrice associata al prodotto scalare \langle \ ,\ \rangle abbiamo visto che:

\langle E_{11},E_{11} \rangle = \langle E_{12},E_{12} \rangle = \langle E_{21},E_{21} \rangle = \langle E_{22},E_{22} \rangle = 1

dunque le norme di queste matrici sono pari a 1.

Inoltre, se moltiplichiamo scalarmente due matrici diverse otteniamo zero, dunque una base ortonormale di M_2(\mathbb{R}) rispetto a \langle \ , \ \rangle è la base canonica di M_2(\mathbb{R}).


Calcolo della norma di una matrice

Per concludere, calcoliamo la norma della matrice

D=\begin{pmatrix}d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 2 & 3\end{pmatrix}

Per com'è definita la norma indotta:

\\ ||D||=\sqrt{d_{11}^2+d_{12}^2+d_{21}^2+d_{22}^2} = \\ \\ = \sqrt{0^2+6^2+2^2+3^2} = \\ \\ = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os