Trovare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta

Ho un esercizio che chiede di calcolare l'equazione del piano per un punto e che sia perpendicolare a una retta di cui conosco esclusivamente un vettore parallelo. Come devo procedere in questi casi?

Trovare il piano passante per e perpendicolare alla retta parallela al vettore .

Come procedo? Devo necessariamente trovare una rappresentazione della retta?

Il nostro obiettivo è quello di trovare quel piano che soddisfa le seguenti condizioni:

- il piano è ortogonale alla retta , parallela al vettore



- il punto appartiene al piano.

Per risolvere il problema scriviamo la generica equazione cartesiana del piano



dove almeno uno tra i numeri reali è non nullo.

A una siffatta rappresentazione possiamo associare la cosiddetta tripla dei parametri direttori del piano composta dai coefficienti



e che individua la direzione perpendicolare al piano.

Per quanto concerne la retta , sappiamo solo che è parallela al vettore che, proprio per questo motivo, assume il ruolo di vettore direttore per



Affinché sia un piano ortogonale alla retta dobbiamo imporre che la direzione normale al piano sia parallela a quella della retta e ciò avviene nel momento in cui e sono tra loro proporzionali.

Dal punto di vista operativo, la proporzionalità tra i due vettori è garantita se è un multiplo di , ossia si deve presentare nella forma



In particolare, scegliendo , ricaviamo l'uguaglianza:



Grazie ai valori iniziamo a comporre l'equazione cartesiana del piano



Manca all'appello esclusivamente il valore da attribuire al termine noto che possiamo ricavare imponendo la condizione di passaggio per il punto .

Ricordando che un punto appartiene a un piano se le coordinate del punto soddisfa l'equazione che individua il piano, scriviamo:



da cui .

Possiamo concludere che l'equazione che descrive il piano passante per e ortogonale alla retta , parallela a è:



Abbiamo finito!