Trovare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Trovare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta #4662

avt
lolloviola
Frattale
Ho un esercizio che chiede di calcolare l'equazione del piano per un punto e che sia perpendicolare a una retta di cui conosco esclusivamente un vettore parallelo. Come devo procedere in questi casi?

Trovare il piano passante per P(1,4,3) e perpendicolare alla retta parallela al vettore \mathbf{v}=(1,3,1).

Come procedo? Devo necessariamente trovare una rappresentazione della retta?
 
 

Trovare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta #4686

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo è quello di trovare quel piano che soddisfa le seguenti condizioni:

- il piano è ortogonale alla retta r, parallela al vettore

\mathbf{v}=(l,m,n)=(1,3,1)

- il punto P(x_{P},y_{P},z_{P})=(1,4,3) appartiene al piano.

Per risolvere il problema scriviamo la generica equazione cartesiana del piano

\pi: \ ax+by+cz+d=0

dove almeno uno tra i numeri reali a,b,c è non nullo.

A una siffatta rappresentazione possiamo associare la cosiddetta tripla dei parametri direttori del piano composta dai coefficienti a,b,c

\mathbf{n}_{\pi}=(a,b,c)

e che individua la direzione perpendicolare al piano.

Per quanto concerne la retta r, sappiamo solo che è parallela al vettore \mathbf{v} che, proprio per questo motivo, assume il ruolo di vettore direttore per r

\mathbf{v}_{r}=\mathbf{v}=(1,3,1)

Affinché \pi sia un piano ortogonale alla retta r dobbiamo imporre che la direzione normale al piano sia parallela a quella della retta e ciò avviene nel momento in cui \mathbf{n}_{\pi} e \mathbf{v}_{r} sono tra loro proporzionali.

Dal punto di vista operativo, la proporzionalità tra i due vettori è garantita se \mathbf{n}_{\pi} è un multiplo di \mathbf{v}_{r}, ossia si deve presentare nella forma

\mathbf{n}_{\pi}=\alpha\mathbf{v}_{r}\ \ \ \mbox{con}\ \alpha\in\mathbb{R}-\{0\}

In particolare, scegliendo \alpha=1, ricaviamo l'uguaglianza:

\mathbf{n}_{\pi}=\mathbf{v}_{r}=(1,3,1)

Grazie ai valori a=1, b=3,c=1 iniziamo a comporre l'equazione cartesiana del piano

\pi:\ x+3y+z+d=0

Manca all'appello esclusivamente il valore da attribuire al termine noto d che possiamo ricavare imponendo la condizione di passaggio per il punto P(1,4,3).

Ricordando che un punto appartiene a un piano se le coordinate del punto soddisfa l'equazione che individua il piano, scriviamo:

P\in\pi \ \iff \ 1+3\cdot 4+1\cdot 3+d=0

da cui d=-16.

Possiamo concludere che l'equazione che descrive il piano passante per P e ortogonale alla retta r, parallela a \mathbf{v} è:

\pi:\ x+3y+z-16=0

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, frank094, lolloviola
  • Pagina:
  • 1
Os