Matrici simili

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Matrici simili #46534

avt
KikaLedZeppelin
Cerchio
Potreste dirmi tutto quello che c'è da sapere sulla similitudine tra matrici? Oltre alla definizione vorrei vedere qualche esempio e mi servirebbe un elenco delle principali proprietà di cui godono le matrici simili.

All'atto pratico, come si fa a stabilire se due matrici sono simili? A quanto ho capito entra in gioco la forma canonica di Jordan, ma non mi è chiaro come si procede.
Ringraziano: 3²+4²=5²
 
 

Matrici simili #46563

avt
Omega
Amministratore
Cominciamo con la definizione di matrici simili: due matrici quadrate A e B sono simili se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che il prodotto tra l'inversa di P e le matrici B e P coincide con la matrice A:

A, B ∈ Mat(n,n,K) matrici simili ; ⇔ ∃ P ∈ GL(n,K) t.c. A = P^(-1)BP

dove GL(n,K) indica il gruppo generale lineare, formato da tutte e sole le matrici invertibili di ordine n a elementi nel campo K.

Esempi

1) Ogni matrice è simile a se stessa, infatti la matrice invertibile che soddisfa la relazione A = P^(-1)AP è la matrice identità.

2) Le matrici A,B date da

A = [-1 0 ; 0 5] ; B = [1 2 ; 4 3]

sono matrici simili, tant'è vero che se consideriamo

P = [-1 1 ; 1 2]

essa è invertibile e la sua matrice inversa è

P^(-1) = [-(2)/(3) (1)/(3) ; (1)/(3) (1)/(3)]

Svolgendo il prodotto riga per colonna

P^(-1)BP = [-(2)/(3) (1)/(3) ; (1)/(3) (1)/(3)] [1 2 ; 4 3] [-1 1 ; 1 2]

si ottiene proprio A, dunque A è simile a B.

Osservazione

La similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine, infatti è semplice dimostrare che:

- ogni matrice è simile a se stessa;

- se A è simile a B, allora B è simile ad A;

- se A è simile a B e B è simile a C, allora A è simile a C.

Indicando con Mat(n,n,K) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K, la relazione d'equivalenza di similitudine tra matrici permette di effettuare una partizione dell'insieme Mat(n,n,K), in cui ogni sottoinsieme della partizione è caratterizzato da tutte e sole le matrici simili tra loro.

Come verificare se due matrici sono simili

Come dovrebbe risultare evidente, stabilire se due matrici sono simili ricorrendo alla sola definizione è un'impresa assai ardua, infatti nel caso di matrici con ordini elevati è quasi impossibile riuscire a stabilire se esiste una matrice invertibile P tale che A = P^(-1)BP.

Fortunatamente viene in nostro aiuto il seguente teorema: due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo K, a meno dell'ordine dei blocchi.

Dimostrazione

Siano J_A e J_B le forme canoniche di Jordan associate, rispettivamente, alle matrici A e B. Dalla definizione di forma canonica di Jordan associata a una matrice segue che A e J_A, così come B e J_B sono matrici simili.

Di conseguenza, se A è simile a B, per la proprietà transitiva anche J_A è simile a J_B. Inoltre, se due forme canoniche sono simili allora coincidono a meno dell'ordine dei blocchi.

Viceversa, se J_A = J_B allora J_A è simile a J_B e sempre per transitività si ha che A è simile a B, e il teorema può dirsi dimostrato.

All'atto pratico, per stabilire se due matrici A e B sono simili è sufficiente calcolare la loro forma canonica di Jordan. Se, a meno dell'ordine dei blocchi, le due forme canoniche coincidono allora A e B sono matrici simili, in caso contrario non lo sono.

Esempio

Stabilire se le matrici

A = [1 -1 0 ; 2 4 0 ; 0 0 2], B = [4 1 0 ;-2 1 0 ; 0 0 2]

sono simili.

Procediamo col calcolo della forma canonica di Jordan delle due matrici. Lasciamo a voi il compito di verificare che entrambe ammettono come autovalori

λ_1 = 2 con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 2;

λ_2 = 3 con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 1.

Di conseguenza a λ_1 = 2 sono associati due blocchi di Jordan di ordine 1, e a λ_2 = 3 è associato un blocco di ordine 1, dunque

J_A = J_B = [2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 3]

e le due matrici sono simili.

Proprietà delle matrici simili

1) Due o più matrici simili hanno stesso determinante, stesso rango e stessa traccia.

2) Due o più matrici simili hanno, inoltre, stesso polinomio caratteristico, stesso polinomio minino, e quindi stessi autovalori.

Badate bene che non vale il viceversa. Due o più matrici con stesso determinante, stesso rango, stessa traccia e stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente matrici simili.

Consideriamo un semplice controesempio:

A = [2 0 ; 0 2] e B = [2 1 ; 0 2]

Le due matrici hanno stesso determinante, stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori, ma non sono simili in quanto non hanno la stessa forma canonica di Jordan.

A e B, infatti, sono già in forma di Jordan ed è evidente che A è formata da due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a λ_1 = 2, mentre B è costituita da un solo blocco di Jordan di ordine 2 associato a λ_1 = 2.

Matrici simili ed endomorfismi

Un piccolo approfondimento, utile per chi ha già studiato le applicazioni lineari e in particolare il concetto di endomorfismo.

Tenendo conto che a ogni endomorfismo si può associare una matrice quadrata, e viceversa, nel contesto delle applicazioni lineari due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.

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Ringraziano: Pi Greco, Benfas, dany4president, 3²+4²=5², alfio.togni, AlePi^2=g
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Os