Matrici simili

Potreste dirmi tutto quello che c'è da sapere sulla similitudine tra matrici? Oltre alla definizione vorrei vedere qualche esempio e mi servirebbe un elenco delle principali proprietà di cui godono le matrici simili.

All'atto pratico, come si fa a stabilire se due matrici sono simili? A quanto ho capito entra in gioco la forma canonica di Jordan, ma non mi è chiaro come si procede.

Cominciamo con la definizione di matrici simili: due matrici quadrate sono simili se e solo se esiste una matrice invertibile tale che il prodotto tra l'inversa di e le matrici coincide con la matrice :


dove indica il gruppo generale lineare, formato da tutte e sole le matrici invertibili di ordine a elementi nel campo .

Esempi

1) Ogni matrice è simile a se stessa, infatti la matrice invertibile che soddisfa la relazione è la matrice identità.

2) Le matrici date da



sono matrici simili, tant'è vero che se consideriamo



essa è invertibile e la sua matrice inversa è



Svolgendo il prodotto riga per colonna



si ottiene proprio , dunque è simile a .

Osservazione

La similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine, infatti è semplice dimostrare che:

- ogni matrice è simile a se stessa;

- se è simile a , allora è simile ad ;

- se è simile a e è simile a , allora è simile a .

Indicando con lo spazio delle matrici quadrate di ordine a coefficienti in un campo , la relazione d'equivalenza di similitudine tra matrici permette di effettuare una partizione dell'insieme , in cui ogni sottoinsieme della partizione è caratterizzato da tutte e sole le matrici simili tra loro.

Come verificare se due matrici sono simili

Come dovrebbe risultare evidente, stabilire se due matrici sono simili ricorrendo alla sola definizione è un'impresa assai ardua, infatti nel caso di matrici con ordini elevati è quasi impossibile riuscire a stabilire se esiste una matrice invertibile tale che .

Fortunatamente viene in nostro aiuto il seguente teorema: due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo , a meno dell'ordine dei blocchi.

Dimostrazione

Siano le forme canoniche di Jordan associate, rispettivamente, alle matrici . Dalla definizione di forma canonica di Jordan associata a una matrice segue che , così come sono matrici simili.

Di conseguenza, se è simile a , per la proprietà transitiva anche è simile a . Inoltre, se due forme canoniche sono simili allora coincidono a meno dell'ordine dei blocchi.

Viceversa, se allora è simile a e sempre per transitività si ha che è simile a , e il teorema può dirsi dimostrato.

All'atto pratico, per stabilire se due matrici sono simili è sufficiente calcolare la loro forma canonica di Jordan. Se, a meno dell'ordine dei blocchi, le due forme canoniche coincidono allora sono matrici simili, in caso contrario non lo sono.

Esempio

Stabilire se le matrici



sono simili.

Procediamo col calcolo della forma canonica di Jordan delle due matrici. Lasciamo a voi il compito di verificare che entrambe ammettono come autovalori

con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 2;

con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 1.

Di conseguenza a sono associati due blocchi di Jordan di ordine 1, e a è associato un blocco di ordine 1, dunque



e le due matrici sono simili.

Proprietà delle matrici simili

1) Due o più matrici simili hanno stesso determinante, stesso rango e stessa traccia.

2) Due o più matrici simili hanno, inoltre, stesso polinomio caratteristico, stesso polinomio minino, e quindi stessi autovalori.

Badate bene che non vale il viceversa. Due o più matrici con stesso determinante, stesso rango, stessa traccia e stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente matrici simili.

Consideriamo un semplice controesempio:



Le due matrici hanno stesso determinante, stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori, ma non sono simili in quanto non hanno la stessa forma canonica di Jordan.

, infatti, sono già in forma di Jordan ed è evidente che è formata da due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a , mentre è costituita da un solo blocco di Jordan di ordine 2 associato a .

Matrici simili ed endomorfismi

Un piccolo approfondimento, utile per chi ha già studiato le applicazioni lineari e in particolare il concetto di endomorfismo.

Tenendo conto che a ogni endomorfismo si può associare una matrice quadrata, e viceversa, nel contesto delle applicazioni lineari due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.


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