Matrici simili
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Matrici simili #46534
![]() KikaLedZeppelin Cerchio | Potreste dirmi tutto quello che c'è da sapere sulla similitudine tra matrici? Oltre alla definizione vorrei vedere qualche esempio e mi servirebbe un elenco delle principali proprietà di cui godono le matrici simili. All'atto pratico, come si fa a stabilire se due matrici sono simili? A quanto ho capito entra in gioco la forma canonica di Jordan, ma non mi è chiaro come si procede. |
Ringraziano: 3²+4²=5² |
Matrici simili #46563
![]() Omega Amministratore | Cominciamo con la definizione di matrici simili: due matrici quadrate ![]() dove Esempi 1) Ogni matrice è simile a se stessa, infatti la matrice invertibile che soddisfa la relazione 2) Le matrici ![]() sono matrici simili, tant'è vero che se consideriamo ![]() essa è invertibile e la sua matrice inversa è ![]() Svolgendo il prodotto riga per colonna ![]() si ottiene proprio Osservazione La similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine, infatti è semplice dimostrare che: - ogni matrice è simile a se stessa; - se - se Indicando con Come verificare se due matrici sono simili Come dovrebbe risultare evidente, stabilire se due matrici sono simili ricorrendo alla sola definizione è un'impresa assai ardua, infatti nel caso di matrici con ordini elevati è quasi impossibile riuscire a stabilire se esiste una matrice invertibile Fortunatamente viene in nostro aiuto il seguente teorema: due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo Dimostrazione Siano Di conseguenza, se Viceversa, se All'atto pratico, per stabilire se due matrici Esempio Stabilire se le matrici ![]() sono simili. Procediamo col calcolo della forma canonica di Jordan delle due matrici. Lasciamo a voi il compito di verificare che entrambe ammettono come autovalori Di conseguenza a ![]() e le due matrici sono simili. Proprietà delle matrici simili 1) Due o più matrici simili hanno stesso determinante, stesso rango e stessa traccia. 2) Due o più matrici simili hanno, inoltre, stesso polinomio caratteristico, stesso polinomio minino, e quindi stessi autovalori. Badate bene che non vale il viceversa. Due o più matrici con stesso determinante, stesso rango, stessa traccia e stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente matrici simili. Consideriamo un semplice controesempio: ![]() Le due matrici hanno stesso determinante, stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori, ma non sono simili in quanto non hanno la stessa forma canonica di Jordan. Matrici simili ed endomorfismi Un piccolo approfondimento, utile per chi ha già studiato le applicazioni lineari e in particolare il concetto di endomorfismo. Tenendo conto che a ogni endomorfismo si può associare una matrice quadrata, e viceversa, nel contesto delle applicazioni lineari due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse. *** È tutto! Per sapere come si definiscono le matrici congruenti - click! |
Ringraziano: Pi Greco, Benfas, dany4president, 3²+4²=5², alfio.togni, AlePi^2=g |
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