Matrici simili

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Matrici simili #46534

avt
KikaLedZeppelin
Cerchio
Potreste dirmi tutto quello che c'è da sapere sulla similitudine tra matrici? Oltre alla definizione vorrei vedere qualche esempio e mi servirebbe un elenco delle principali proprietà di cui godono le matrici simili.

All'atto pratico, come si fa a stabilire se due matrici sono simili? A quanto ho capito entra in gioco la forma canonica di Jordan, ma non mi è chiaro come si procede.
Ringraziano: 3²+4²=5²
 
 

Matrici simili #46563

avt
Omega
Amministratore
Cominciamo con la definizione di matrici simili: due matrici quadrate A \mbox{ e } B sono simili se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che il prodotto tra l'inversa di P e le matrici B \mbox{ e } P coincide con la matrice A:

A, B \in Mat(n,n,\mathbb{K}) \mbox{ matrici simili}\\ \\ \iff \exists P \in GL(n,\mathbb{K}) \mbox{ t.c. }A=P^{-1}BP

dove GL(n,\mathbb{K}) indica il gruppo generale lineare, formato da tutte e sole le matrici invertibili di ordine n a elementi nel campo \mathbb{K}.

Esempi

1) Ogni matrice è simile a se stessa, infatti la matrice invertibile che soddisfa la relazione A=P^{-1}AP è la matrice identità.

2) Le matrici A,B date da

A=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&5\end{pmatrix} \ \ ;\ \ B=\begin{pmatrix}1&2 \\ 4&3\end{pmatrix}

sono matrici simili, tant'è vero che se consideriamo

P=\begin{pmatrix}-1&1 \\ 1&2\end{pmatrix}

essa è invertibile e la sua matrice inversa è

P^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}

Svolgendo il prodotto riga per colonna

P^{-1}BP=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2 \\ 4&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&1 \\ 1&2\end{pmatrix}

si ottiene proprio A, dunque A è simile a B.

Osservazione

La similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine, infatti è semplice dimostrare che:

- ogni matrice è simile a se stessa;

- se A è simile a B, allora B è simile ad A;

- se A è simile a B e B è simile a C, allora A è simile a C.

Indicando con Mat(n,n,\mathbb{K}) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo \mathbb{K}, la relazione d'equivalenza di similitudine tra matrici permette di effettuare una partizione dell'insieme Mat(n,n,\mathbb{K}), in cui ogni sottoinsieme della partizione è caratterizzato da tutte e sole le matrici simili tra loro.

Come verificare se due matrici sono simili

Come dovrebbe risultare evidente, stabilire se due matrici sono simili ricorrendo alla sola definizione è un'impresa assai ardua, infatti nel caso di matrici con ordini elevati è quasi impossibile riuscire a stabilire se esiste una matrice invertibile P tale che A=P^{-1}BP.

Fortunatamente viene in nostro aiuto il seguente teorema: due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan in un campo \mathbb{K}, a meno dell'ordine dei blocchi.

Dimostrazione

Siano J_A \mbox{ e } J_B le forme canoniche di Jordan associate, rispettivamente, alle matrici A \mbox{ e } B. Dalla definizione di forma canonica di Jordan associata a una matrice segue che A \mbox{ e } J_A, così come B \mbox{ e } J_B sono matrici simili.

Di conseguenza, se A è simile a B, per la proprietà transitiva anche J_A è simile a J_B. Inoltre, se due forme canoniche sono simili allora coincidono a meno dell'ordine dei blocchi.

Viceversa, se J_A=J_B allora J_A è simile a J_B e sempre per transitività si ha che A è simile a B, e il teorema può dirsi dimostrato.

All'atto pratico, per stabilire se due matrici A \mbox{ e } B sono simili è sufficiente calcolare la loro forma canonica di Jordan. Se, a meno dell'ordine dei blocchi, le due forme canoniche coincidono allora A \mbox{ e } B sono matrici simili, in caso contrario non lo sono.

Esempio

Stabilire se le matrici

A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 2&4&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}, \ \ B=\begin{pmatrix}4&1&0 \\ -2&1&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}

sono simili.

Procediamo col calcolo della forma canonica di Jordan delle due matrici. Lasciamo a voi il compito di verificare che entrambe ammettono come autovalori

\lambda_1=2 con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 2;

\lambda_2=3 con molteplicità algebrica e geometrica uguale a 1.

Di conseguenza a \lambda_1=2 sono associati due blocchi di Jordan di ordine 1, e a \lambda_2=3 è associato un blocco di ordine 1, dunque

J_A=J_B=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}

e le due matrici sono simili.

Proprietà delle matrici simili

1) Due o più matrici simili hanno stesso determinante, stesso rango e stessa traccia.

2) Due o più matrici simili hanno, inoltre, stesso polinomio caratteristico, stesso polinomio minino, e quindi stessi autovalori.

Badate bene che non vale il viceversa. Due o più matrici con stesso determinante, stesso rango, stessa traccia e stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente matrici simili.

Consideriamo un semplice controesempio:

A=\begin{pmatrix}2&0 \\ 0&2\end{pmatrix} \mbox{ e } B=\begin{pmatrix}2&1 \\ 0&2\end{pmatrix}

Le due matrici hanno stesso determinante, stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stessi autovalori, ma non sono simili in quanto non hanno la stessa forma canonica di Jordan.

A \mbox{ e } B, infatti, sono già in forma di Jordan ed è evidente che A è formata da due blocchi di Jordan di ordine 1 relativi a \lambda_1=2, mentre B è costituita da un solo blocco di Jordan di ordine 2 associato a \lambda_1=2.

Matrici simili ed endomorfismi

Un piccolo approfondimento, utile per chi ha già studiato le applicazioni lineari e in particolare il concetto di endomorfismo.

Tenendo conto che a ogni endomorfismo si può associare una matrice quadrata, e viceversa, nel contesto delle applicazioni lineari due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.

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Ringraziano: Pi Greco, Benfas, dany4president, 3²+4²=5², alfio.togni
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Os