Stabilire se un insieme di matrici è un insieme di generatori

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Stabilire se un insieme di matrici è un insieme di generatori #46298

avt
pes73
Punto
Dispongo di quattro matrici quadrate di ordine 2 a entrate reali e devo dire se costituiscono un sistema di generatori per lo spazio vettoriale Mat(2,2,\mathbb{R}). È la prima volta che lavoro con lo spazio delle matrici e non so come muovermi.

Le matrici

\\ A=\begin{pmatrix}1&-2 \\ 1&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0 \\ 1&0\end{pmatrix}

formano un insieme di generatori di Mat(2,2,\mathbb{R})?
 
 

Stabilire se un insieme di matrici è un insieme di generatori #46312

avt
Omega
Amministratore
Le matrici

\\ A=\begin{pmatrix}1&-2 \\ 1&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}2&0 \\ 1&0\end{pmatrix}

costituiscono un sistema di generatori di Mat(2,2,\mathbb{R}) se e solo se per ogni

M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix} \in Mat(2,2,\mathbb{R})

esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \in \mathbb{R} tali che

\lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C + \lambda_4 D = M

ossia

\lambda_1 \begin{pmatrix}1&-2 \\ 1&-1\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}1&0 \\ 2&1\end{pmatrix}+\lambda_3 \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} + \lambda_4 \begin{pmatrix}2&0 \\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}

Svolgiamo i prodotti scalare-matrice

\begin{pmatrix}\lambda_1&-2\lambda_1 \\ \lambda_1&-\lambda_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\lambda_2&0 \\ 2\lambda_2&\lambda_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda_3&0 \\ 0&-\lambda_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\lambda_4&0 \\ \lambda_4&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}

e le somme matriciali

\begin{pmatrix}\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+2\lambda_4 && -2\lambda_1 \\ \\ \lambda_1+2\lambda_2+\lambda_4 && -\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}

Due matrici sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, per cui dev'essere

\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+2\lambda_4=m_{11} \\ -2\lambda_1=m_{12} \\ \lambda_1+2\lambda_2+\lambda_4=m_{21} \\ -\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3=m_{22}\end{cases}

Abbiamo così ottenuto un sistema lineare parametrico nelle incognite \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4. Se tale sistema ammette soluzione per ogni m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22} \in \mathbb{R} allora \{A,B,C,D\} è un insieme di generatori di Mat(2,2,\mathbb{R}).

La matrice incompleta e quella completa associate al sistema sono

\\ \begin{pmatrix}1&1&1&2 \\ -2&0&0&0 \\ 1&2&0&1 \\ -1&1&-1&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ \left(\begin{matrix}1&1&1&2 \\ -2&0&0&0 \\ 1&2&0&1 \\ -1&1&-1&0\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}m_{11} \\ m_{12} \\ m_{21} \\ m_{22}\end{matrix}\right)

Quella incompleta è una matrice quadrata 4 \times 4. Calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla seconda riga, in quanto ha tre termini nulli.

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1&2 \\ -2&0&0&0 \\ 1&2&0&1 \\ -1&1&-1&0\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{2+1} \cdot (-2) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&2 \\ 2&0&1 \\ 1&-1&0\end{pmatrix} =

Per calcolare il determinante della matrice 3 \times 3 usiamo, ancora una volta, lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga

=2 \cdot \left[(-1)^{2+1} \cdot 2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&2 \\ -1&0\end{pmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&-1\end{pmatrix}\right]=

sviluppiamo i determinanti delle matrici di ordine 2

\\ =2 \cdot [-2 \cdot (0+2) - 1 \cdot (-1-1)] = \\ \\ = 2 \cdot (-4+2) = -4

In definitiva, il determinante della matrice incompleta è diverso da zero, per cui tale matrice ha rango 4, e coincide con il rango della matrice completa.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione per ogni m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22} \in \mathbb{R}, cosicché A,B,C,D individuano un insieme di generatori di Mat(2,2,\mathbb{R}).

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco
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Os