Correzione di un esercizio su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità

Determinare gli autovalori e gli autovettori per l'endomorfismo f rappresentato dalla seguente matrice:



(a)Dire se f è diagonalizzabile.
(b)Determinare una base e la dimensione per kerf e Imf.
Per trovare gli autovalori ho pensato semplicemente di sfruttare l'equazione caratteristica.
e cioè in questo modo :


e mi esce

da questo ne deduco che gli autovalori sono 2 uno con molteplicità algebrica 1 e l'altro con molteplicità algebrica 3
giusto?
quindi essendo 3+1=4 è verificata la prima condizione del teorema della caratt della diagonalizzazione e cioè che la molt.alg. deve essere uguale alla dimensione della matrice per verificare ora la molt algebrica mi calcolo gli autospazi.


Dunque mi calcolo il seguente sistema:

e mi blocco perchè si azzerano tutti dove sbaglio il mio procedimento è fatto bene?

per trovare il nucleo invece ho semplicemente ridotto a scalini la matrice



e mi accorgo che n-rk(A)= 0 quindi deduco che il nucleo ha dimensione 0 giusto o sbaglio? dunque dunque imm(A) ha dimensione 4 e coincide proprio con lo spazio vettoriale oppure in alternativa come basi posso usare le colonne della matrice ridotta a scalini o sbaglio?

904 ha scritto:


Corretto!!

904 ha scritto:


Yes!

904 ha scritto:


Qui cosa hai fatto?

quindi non ho saputo più che fare perchè si azzera tutto

Ti chiedevo come hai ottenuto quel sistema
Non mi torna, quindi prima di procedere fammi capire come lo hai ottenuto

semplice per determinare l'autospazio ho pensato di sostituire gli autovalori apposto di lambda

Per la matrice:


Diventa:


Dunque l'equazione matriciale:

o meglio:



è equivalente al sistema:



Da cui:





Il vettore è quindi della forma:



Quindi l'autospazio associato ha dimensione 1. Pertanto la molteplicità geometrica dell'autovalore è .

Ti torna?

è uno perchè la base contiene un solo vettore ? dunque già da questo posso dedurre che non è diagonalizzabile? perchè la molt alg non coincide con molt geom o devo calcolare anche quella con 2 e sommarla?

904 ha scritto:

Sì
904 ha scritto:


I modi che hai proposto sono equivalenti.
Nota infatti che:




proprio perché non viene rispettata la condizione
Puoi concludere che la matrice non è diagonalizzabile.

904 ha scritto:

sbaglio?
l'immagine è 2,0,0,0
0,1,0,0
0,1,2,0
0,1,4,2
vero?

Corretto!



Se intendi che:


allora siamo d'accordo! Per la base puoi usare le colonne della matrice (in cui compaiono i Pivot).

L'immagine è quindi:



Ti torna? Ho preso tutti i vettori colonna della matrice A, questo perché sono linearmente indipendenti e formano una base di .

Ci sono dubbi?