Quando un sistema lineare ha soluzioni

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Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4306

avt
frank094
Sfera
Ovviamente.
Il fatto che il determinante sia pari a zero non preclude la presenza di possibili soluzioni: ti dice semplicemente che non ne esiste una unica ( quindi o è impossibile, o ammette infinite soluzioni ).

Il problema è che la matrice da te proposta non ha rango 3, tanto meno ha senso discuterne: hai ridotto il tutto all'equazione

0 x_1 + 0 x_2 + 0 x_3 = 1

che è chiaramente impossibile per ogni x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}.

Vedila così: il vettore (0, 0, 0) associato ad altri due vettori linearmente indipendenti non formerà mai una base di \mathbb{R}^3.
Ringraziano: Omega, Ifrit, 904
 
 

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4317

avt
ograndedienne
Punto
Dunque, una cosa alla volta.

frank094 ha scritto:


Attenzione: il rango è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti e il massimo numero di righe linearmente indipendenti!


Ok, e se il numero di righe linearmente indipendenti è diverso dal numero di colonne linearmente indipendenti.

Ad esempio:

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}

( 1 2 1 ) e (2 4 2) sono linearmente dipendenti. Quindi ci sono 2 righe linearmente indipendenti nella matrice. E 3 colonne linearmente indipendenti. Quindi qual'è il rango di B ?


Invece
A = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}

è un caso particolare perchè ha una riga nulla, ma è cmq una matrice possibile.

(0 0 0) è cmq un vettore e anche linearmente indipendente. Quindi il rango non dovrebbe essere 3 ?
No secondo l'altra definizione di determinante. Forse comincio a capire.

Quindi allora un sistema lineare con matrice quadrata di rango massimo ( e quindi escludiamo vettori nulli) ha sempre e solo una soluzione...?

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4319

avt
Ifrit
Amministratore
Il rango di una matrice è uguale al rango della trasposta, quindi il rango per righe deve essere necessariamente uguale al rango per colonne emt

Partiamo dalla matrice:
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}

Considera che:
\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix}  1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}- \frac{1}{2}\begin{bmatrix}  2\\ 4 \\2  \end{bmatrix}

Quindi le colonne linearmente indipendenti sono 2.

Inoltre il vettore nullo è il vettore linearmente dipendente per eccellenza emt

Per l'ultima domanda, sì, segue dal teorema di Rouché Capelli.
Ringraziano: Omega, frank094, 904

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4322

avt
ograndedienne
Punto
Ifrit ha scritto:

Considera che:
\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix}  1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}- \frac{1}{2}\begin{bmatrix}  2\\ 4 \\2  \end{bmatrix}

Quindi le colonne linearmente indipendenti sono 2.



Pensavo che quando si parlava di linearmente indipendenti si intendeva a due a due.

Grazie per la correzione!
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Os