Quando un sistema lineare ha soluzioni

Ciao a tutti,
ho bisogno che facciate un pò di chiarezza su quando un sistema lineare



ammette soluzioni (una o infinite) ed il rango della matrice A.



Un sistema lineare quadrato omogeneo ha sempre soluzione. Una soluzione in caso di rango massimo. Giusto ?

Un sistema lineare quadrato non omogeneo ?

un sistema lineare con matrice mXn e n>m ha soluzione quando rank(A)>= n . Giusto ?

un sistema lineare con matrice mXn e m>n difficilmente ha soluzione.

Grazie per ogni delucidazione !

Ciao ograndedienne, vediamo un po' di chiarire con questi sistemi lineari.

1) Un sistema lineare quadrato omogeneo ammette sempre come soluzione la terna banale (0, 0, .., 0) ma non sempre è l'unica soluzione.
Se il determinante della matrice associata è diverso da zero allora la soluzione è unica ( la terna banale ), se invece è uguale a zero ci sono infinite soluzioni.
Volendo far riferimento anche al rango della matrice, sappiamo che esso è rappresentato anche dal massimo numero di righe/colonne linearmente indipendenti ( o ancora più esplicitamente dall'ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da 0; ): se esso non è massimo ( ossia pari alla dimensione dello spazio generato dalle righe o dalle colonne ) le soluzioni sono infinite come hai già giustamente fatto notare.

2) Un sistema lineare quadrato non omogeneo non sempre ammette soluzioni, e mai la terna banale.
Delle soluzioni di questo specifico sistema se ne può parlare grazie al teorema di Rouché-Capelli, secondo il quale il sistema ammette soluzioni se e solo se


ed ammette esattamente soluzioni.

Che cosa ci ha detto esattamente? Che il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice ottenuta accostando alla precedente il vettore dei termini noti.
Inoltre, se questo accade, il sistema ammette soluzioni: ossia se il rango è massimo ne ammette solo una, altrimenti infinite.

3) Un sistema lineare con equazioni ed incognite, con più incognite che equazioni ammette sempre soluzioni; in particolare con il teorema di Rouché-Capelli notiamo che:

- Il sistema non può ammettere una sola soluzione perché , visto che il rango è anche il massimo numero di righe linearmente indipendenti, ed essendo già non c'è bisogno di andare avanti;

- Il sistema è impossibile se e solo se il rango della matrice incompleta è diverso da quello della matrice completa;

- Il sistema ammette infinite soluzioni ogni volta che il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa, essendo sempre.

4) Un sistema lineare con equazioni ed incognite, con più equazioni che incognite, difficilmente ammette soluzioni; questo perché per definizione


Di conseguenza, quando possibile, il sistema ammette al più una equazione quando il rango è uguale al numero di incognite.

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E' tutto chiaro?

Illuminante!

Ci ragiono e se ho altri dubbi rispondo.

Considero ora solo il caso dei sistemi non omogenei.

Innanzi tutto, da quello che ho capito dalla tua spiegazione, il rango di una matrice rettangolare è il minimo tra il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Giusto?

Ora consideriamo il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Se "attacco" il vettore b alla matrice posso cambiare il numero di colonne linearmente indipendenti ma non quello di righe. Quindi il teorema può essere rifrasato come

un sistema lineare non omogeneo ammette soluzione se il vettore dei termini noti b è linearmente dipendente con uno dei vettori colonna di A. Giusto?

Facciamo un esempio di un sistema triangolare non omogeneo.

x =

Il rango della matrice A è massimo (3).
Il vettore b è linearmente indipendente dai vettori colonna di A.

Quindi il sistema non ha soluzione.

Giusto ?

Cosa intendi con A, la matrice incompleta o completa?

La matrice incompleta, quella dei coefficienti.

ograndedienne ha scritto:

Se i buchi della matrice sono degli zeri, il rango in questo esempio non può essere tre perché la prima riga è nulla!

ograndedienne ha scritto:

Attenzione: il rango di una matrice è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti e il massimo numero di righe linearmente indipendenti!

Ovviamente se dimostri che tutte le righe sono già di per sé tutte linearmente indipendenti allora il rango della matrice incompleta sarà uguale al rango della matrice completa ( proprio perché il numero di righe non cambia ).
Per questo devi fare molta attenzione ai casi che ti si presentano; ti faccio un esempio .. prendiamo il sistema lineare omogeneo


Le tre colonne sono linearmente indipendenti di conseguenza il rango della matrice è 3 .. e se ci aggiungiamo un qualsiasi vettore la situazione non può variare: le tre colonne rappresentano infatti una base di quindi non esiste un vettore appartenente a tale spazio vettoriale tale che non sia linearmente dipendente.
Un discorso analogo si può fare anche per le righe che risultano linearmente indipendenti tra di loro. Se il rango fosse stato due allora avremmo avuto almeno un vettore colonna linearmente dipendente agli altri e almeno un vettore riga linearmente dipendente agli altri.

Come giustamente fai notare però, se è linearmente dipendente ai vettori precedenti allora il sistema ammette soluzioni secondo le modalità indicate.
Infatti il rango è definito anche come l'ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da 0; e abbiamo visto che se è linearmente dipendente allora il rango rimane lo stesso prendendo in considerazione matrici quadrate.

904 ha scritto:



Nelle matrici triangolari il determinante è uguale al prodotto dei valori sulla diagonale. In questo caso il determinante è zero e quindi la matrice è singolare, ovvero non invertibile.

Ma tutto questo non ha nulla a che vedere con il rango.
Puoi creare una colonna a partire da un'altra moltiplicata per una costante ? No, allora le colonne sono linearmente indipendenti e quindi il rango è 3.

Giusto?