Quando un sistema lineare ha soluzioni

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Quando un sistema lineare ha soluzioni #4200

avt
ograndedienne
Punto
Ciao a tutti,
ho bisogno che facciate un pò di chiarezza su quando un sistema lineare

A x = b

ammette soluzioni (una o infinite) ed il rango della matrice A.



Un sistema lineare quadrato omogeneo ha sempre soluzione. Una soluzione in caso di rango massimo. Giusto ?

Un sistema lineare quadrato non omogeneo ?

un sistema lineare con matrice mXn e n>m ha soluzione quando rank(A)>= n . Giusto ?

un sistema lineare con matrice mXn e m>n difficilmente ha soluzione.

Grazie per ogni delucidazione !
 
 

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4203

avt
frank094
Sfera
Ciao ograndedienne, vediamo un po' di chiarire con questi sistemi lineari.

1) Un sistema lineare quadrato omogeneo ammette sempre come soluzione la terna banale (0, 0, .., 0) ma non sempre è l'unica soluzione.
Se il determinante della matrice associata è diverso da zero allora la soluzione è unica ( la terna banale ), se invece è uguale a zero ci sono infinite soluzioni.
Volendo far riferimento anche al rango della matrice, sappiamo che esso è rappresentato anche dal massimo numero di righe/colonne linearmente indipendenti ( o ancora più esplicitamente dall'ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da 0; ): se esso non è massimo ( ossia pari alla dimensione dello spazio generato dalle righe o dalle colonne ) le soluzioni sono infinite come hai già giustamente fatto notare.

2) Un sistema lineare quadrato non omogeneo non sempre ammette soluzioni, e mai la terna banale.
Delle soluzioni di questo specifico sistema se ne può parlare grazie al teorema di Rouché-Capelli, secondo il quale il sistema ammette soluzioni se e solo se

rg(A) = rg(A:B )

ed ammette esattamente \infty^{n - rg(A)} soluzioni.

Che cosa ci ha detto esattamente? Che il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice ottenuta accostando alla precedente il vettore dei termini noti.
Inoltre, se questo accade, il sistema ammette \infty^{n - rg(A)} soluzioni: ossia se il rango è massimo ne ammette solo una, altrimenti infinite.

3) Un sistema lineare con m equazioni ed n incognite, con più incognite che equazioni ammette sempre soluzioni; in particolare con il teorema di Rouché-Capelli notiamo che:

- Il sistema non può ammettere una sola soluzione perché n \neq Rg(A), visto che il rango è anche il massimo numero di righe linearmente indipendenti, ed essendo già m < n non c'è bisogno di andare avanti;

- Il sistema è impossibile se e solo se il rango della matrice incompleta è diverso da quello della matrice completa;

- Il sistema ammette infinite soluzioni ogni volta che il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa, essendo n > rg(A) sempre.

4) Un sistema lineare con m equazioni ed n incognite, con più equazioni che incognite, difficilmente ammette soluzioni; questo perché per definizione

rg(A) \leq n < m

Di conseguenza, quando possibile, il sistema ammette al più una equazione quando il rango è uguale al numero di incognite.

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E' tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Ifrit, 904, ograndedienne

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4204

avt
ograndedienne
Punto
Illuminante!

Ci ragiono e se ho altri dubbi rispondo.
Ringraziano: frank094

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4270

avt
ograndedienne
Punto
Considero ora solo il caso dei sistemi non omogenei.

Innanzi tutto, da quello che ho capito dalla tua spiegazione, il rango di una matrice rettangolare è il minimo tra il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Giusto?

Ora consideriamo il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Se "attacco" il vettore b alla matrice posso cambiare il numero di colonne linearmente indipendenti ma non quello di righe. Quindi il teorema può essere rifrasato come

un sistema lineare non omogeneo ammette soluzione se il vettore dei termini noti b è linearmente dipendente con uno dei vettori colonna di A. Giusto?

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4274

avt
ograndedienne
Punto
Facciamo un esempio di un sistema triangolare non omogeneo.

 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 & 1  \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} x =  \begin{bmatrix} 1 \\ b_2  \\ b_3 \\ \end{bmatrix}

Il rango della matrice A è massimo (3).
Il vettore b è linearmente indipendente dai vettori colonna di A.

Quindi il sistema non ha soluzione.

Giusto ?

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4275

avt
Ifrit
Amministratore
Cosa intendi con A, la matrice incompleta o completa?
Ringraziano: Omega, frank094, 904

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4279

avt
ograndedienne
Punto
La matrice incompleta, quella dei coefficienti.

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4283

avt
904
Sfera
ograndedienne ha scritto:
Facciamo un esempio di un sistema triangolare non omogeneo.

 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 & 1  \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} x =  \begin{bmatrix} 1 \\ b_2  \\ b_3 \\ \end{bmatrix}

Il rango della matrice A è massimo (3).
Il vettore b è linearmente indipendente dai vettori colonna di A.

Quindi il sistema non ha soluzione.

Giusto ?

Se i buchi della matrice sono degli zeri, il rango in questo esempio non può essere tre perché la prima riga è nulla!
Ringraziano: Omega

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4287

avt
frank094
Sfera
ograndedienne ha scritto:
Considero ora solo il caso dei sistemi non omogenei.

Innanzi tutto, da quello che ho capito dalla tua spiegazione, il rango di una matrice rettangolare è il minimo tra il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Giusto?

Ora consideriamo il numero di righe e colonne linearmente indipendenti. Se "attacco" il vettore b alla matrice posso cambiare il numero di colonne linearmente indipendenti ma non quello di righe. Quindi il teorema può essere rifrasato come

un sistema lineare non omogeneo ammette soluzione se il vettore dei termini noti b è linearmente dipendente con uno dei vettori colonna di A. Giusto?

Attenzione: il rango di una matrice è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti e il massimo numero di righe linearmente indipendenti!

Ovviamente se dimostri che tutte le righe sono già di per sé tutte linearmente indipendenti allora il rango della matrice incompleta sarà uguale al rango della matrice completa ( proprio perché il numero di righe non cambia ).
Per questo devi fare molta attenzione ai casi che ti si presentano; ti faccio un esempio .. prendiamo il sistema lineare omogeneo

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Le tre colonne sono linearmente indipendenti di conseguenza il rango della matrice è 3 .. e se ci aggiungiamo un qualsiasi vettore b la situazione non può variare: le tre colonne rappresentano infatti una base di \mathbb{R}^3 quindi non esiste un vettore appartenente a tale spazio vettoriale tale che non sia linearmente dipendente.
Un discorso analogo si può fare anche per le righe che risultano linearmente indipendenti tra di loro. Se il rango fosse stato due allora avremmo avuto almeno un vettore colonna linearmente dipendente agli altri e almeno un vettore riga linearmente dipendente agli altri.

Come giustamente fai notare però, se b è linearmente dipendente ai vettori precedenti allora il sistema ammette soluzioni secondo le modalità indicate.
Infatti il rango è definito anche come l'ordine massimo delle sottomatrici quadrate con determinante diverso da 0; e abbiamo visto che se b è linearmente dipendente allora il rango rimane lo stesso prendendo in considerazione matrici quadrate.
Ringraziano: Omega, ograndedienne

Re: Quando un sistema lineare ha soluzioni #4302

avt
ograndedienne
Punto
904 ha scritto:

il rango di questo esempio non può essere tre perchè nelle matrici triangolari si moltiplica la diagonale per il rango e 0*1*1=0



Nelle matrici triangolari il determinante è uguale al prodotto dei valori sulla diagonale. In questo caso il determinante è zero e quindi la matrice è singolare, ovvero non invertibile.

Ma tutto questo non ha nulla a che vedere con il rango.
Puoi creare una colonna a partire da un'altra moltiplicata per una costante ? No, allora le colonne sono linearmente indipendenti e quindi il rango è 3.

Giusto?
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Os