Verificare che tre vettori formano un sistema di generatori

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Verificare che tre vettori formano un sistema di generatori #41034

avt
IlariaBi
Punto
Quali condizioni devono soddisfare tre vettori per formare un insieme di generatori? Mi rendo conto che la domanda è un po' generica, quindi vi scrivo un esercizio preso dalle mie dispense di Algebra Lineare e vorrei che mi spiegaste come risolverlo.

Verificare che i vettori

\mathbf{v}_1=(1,2,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,-1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,2,3)

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.
 
 

Verificare che tre vettori formano un sistema di generatori #41039

avt
Omega
Amministratore
I vettori

\mathbf{v}_1=(1,2,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,-1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,2,3)

formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 se, per definizione, ogni vettore di \mathbb{R}^3 si può esprimere attraverso una loro combinazione lineare.

Sia, allora, \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) un elemento di \mathbb{R}^3 e richiediamo che sia

a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3=\mathbf{w}

ossia

a_1(1,2,0)+a_2(0,-1,1)+a_3(1,2,3)=(w_1,w_2,w_3)

Svolgiamo i prodotti scalare-vettore e le somme a primo membro

\\ (a_1, 2a_1, 0) + (0,-a_2,a_2) + (a_3, 2a_3, 3a_3) = (w_1, w_2, w_3) \\ \\ (a_1+a_3, \ 2a_1-a_2+2a_3, \ a_2+3a_3) = (w_1,w_2,w_3)

Due vettori sono uguali se coincidono componente per componente, dunque otteniamo un sistema lineare parametrico nelle incognite a_1, a_2, a_3:

S: \ \begin{cases}a_1+a_3=w_1 \\ 2a_1-a_2+2a_3=w_2 \\ a_2+3a_3=w_3\end{cases}

Fermiamoci un attimo a riflettere. Abbiamo detto che \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 formano un sistema di generatori se ogni vettore \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 si può scrivere attraverso una loro combinazione lineare, il che vuol dire che il sistema S deve ammettere soluzione qualsiasi siano i valori assunti da w_1, w_2, w_3.

Per il teorema di Rouché Capelli, un sistema è compatibile se i ranghi delle matrici incompleta e completa a esso associate sono uguali.

Le matrici rappresentative di S sono:

A=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 2&-1&2 \\ 0&1&3\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{w})=\left(\begin{matrix}1&0&1 \\ 2&-1&2 \\ 0&1&3\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{matrix}\right)

Per il criterio dei minori, il rango di A è 3, infatti il determinante dell'intera matrice è diverso da zero:

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 2&-1&2 \\ 0&1&3\end{pmatrix}=

procediamo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga

\\ =(-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&2 \\ 1&3\end{pmatrix}+(-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}2&-1 \\ 0&1\end{pmatrix} = \\ \\= 1 \cdot (-3-2) + 1 \cdot (2-0) = -5+2 = -3

Osserviamo poi che (A|\mathbf{w}) ha 3 righe e 4 colonne, per cui il suo rango può essere al più 3. Essendo A una sua sottomatrice 3x3 di rango massimo, possiamo asserire che anche il rango della matrice completa è 3.

Per Rouché-Capelli, il sistema è allora compatibile qualsiasi siano i valori di w_1,w_2,w_3, e quindi \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è un insieme di generatori di \mathbb{R}^3.

È tutto!
Ringraziano: Pi Greco, IlariaBi
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Os