Metodo di Cramer per un sistema rettangolare

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Metodo di Cramer per un sistema rettangolare #4064

avt
batista
Punto
Devo risolvere con Cramer un sistema rettangolare di due equazioni in tre incognite, ma non ho capito a quali incognite devo assegnare il ruolo di parametro libero.

Determinare le soluzioni del sistema

2x-y+3z = 5 ; x+3y-z = 1

con il metodo di Cramer.
Ringraziano: Alessiaa
 
 

Metodo di Cramer per un sistema rettangolare #4114

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere il sistema rettangolare

2x-y+3z = 5 ; x+3y-z = 1

con il metodo di Cramer procediamo nel modo seguente.

Scriviamo la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema

A = [2 -1 3 ; 1 3 -1] ; (A|b) = (2 -1 3 ; 1 3 -1 | 5 ; 1)

e calcoliamone il rango con il criterio dei minori.

La sottomatrice estratta da A eliminandone la terza colonna

A'= [2 -1 ; 1 3]

ha determinante non nullo

det(A') = det[2 -1 ; 1 3] = 2·3-(-1)·1 = 6+1 = 7

e per il criterio dei minori il rango di A è 2.

A è una sottomatrice di (A|b) di rango massimo, e il rango di (A|b) è al più 2, cosicché è pari a 2 anche il rango della matrice completa.

rk(A) = rk(A|b) = 2

Il sistema è dunque compatibile e ammette ∞^(3-2) = ∞^1 soluzioni, dove 3 è il numero delle incognite.

Assegniamo il ruolo di parametro libero a z, i cui coefficienti corrispondono alla colonna di A che non compare in A'.

Poniamo z = a, con a ∈ R, e sostituiamo nel sistema

2x-y+3a = 5 ; x+3y-a = 1 → 2x-y = 5-3a ; x+3y = 1+a

Risolviamolo col metodo di Cramer trattando 5-3a e 1+a come termini noti.

La matrice incompleta associata al nuovo sistema è A', di cui abbiamo già calcolato il determinante.

Consideriamo le matrici A_1', A_2' dove:

A_1' si ottiene da A' sostituendone la prima colonna con la colonna dei termini noti;

A_2' si ottiene da A' sostituendone la seconda colonna con la colonna dei termini noti.

A_1'= [5-3a -1 ; 1+a 3] ; A_2'= [2 5-3a ; 1 1+a]

Calcoliamo i determinanti di A_1', A_2'

det(A_1') = det[5-3a -1 ; 1+a 3] = 3(5-3a)+1+a = 15-9a+1+a = 16-8a ; det(A_2') = det[2 5-3a ; 1 1+a] = 2(1+a)-(5-3a) = 2+2a-5+3a = -3+5a

Le ∞^1 soluzioni del sistema iniziale sono

x = (det(A_1'))/(det(A')) = (16-8a)/(7) ; y = (det(A_2'))/(det(A')) = (-3+5a)/(7) ; z = a

ossia

(x,y,z) = ((16-8a)/(7), (-3+5a)/(7), a) con a ∈ R

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit, batista, aristofane, CarFaby, faller, ValerioPulcini
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Os