Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto

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Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #4055

avt
mery
Cerchio
salve a tutti ragazzi,
mi potete spiegare le proprietà di questo esercizio?

Siano A e B due matrici quadrate di ordine 4.
Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?


- Se AB = I, allora B è invertibile
- Se A = A-1, allora |A|=1;

|-A|=|A|
-se AB=BA, allora ((BA)2)-1=(B2)-1(A2)-1

- se AB=\Omega e |A| è diverso da 0, allora B è invertibile
 
 

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #4074

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mery, che cosa denota \Omega nella quarta affermazione?

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #4076

avt
mery
Cerchio
indica la matrice nulla.

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #4906

avt
mery
Cerchio
ragazzi, mi aiutate con questo esercizio?

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #4919

avt
Omega
Amministratore
E' da un po' che passo di qui e sbatto la testa perché mi chiedo come risolvere l'esercizio: oggi nella sezione D&R vedendo una tua domanda, mi è venuta l'illuminazione.

Misunderstanding: ogni volta che ho letto questo post, ho interpretato |\cdot| come norma matriciale e non come determinante, ma qui indica il determinante, vero? emt

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #5208

avt
mery
Cerchio
si, indica il determinante

Proprietà delle matrici: determinante e inversa del prodotto #5279

avt
Omega
Amministratore
mery ha scritto:
salve a tutti ragazzi,
mi potete spiegare le proprietà di questo esercizio?

Siano A e B due matrici quadrate di ordine 4.
Quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?


- Se AB = I, allora B è invertibile
- Se A = A-1, allora |A|=1;

|-A|=|A|
-se AB=BA, allora ((BA)2)-1=(B2)-1(A2)-1

- se AB=\Omega e |A| è diverso da 0, allora B è invertibile

Ok, veniamo a noi. Com'è che trovo due affermazioni false, e non una sola? :(
1) Se AB=I, allora B è invertibile.

Vero: segue dalla definizione di matrice invertibile.

2) Se A=A^{-1}, allora det(A)=1

Falso. Sappiamo che det(AA^{-1})=det(I)=1, d'altra parte per il teorema di Binet 1=det(AA^{-1})=det(A)det(A^{-1}). Dunque, essendo per ipotesi A=A^{-1} abbiamo che

1=det(A)det(A^{-1})=\left[det(A)\right]^2

e quindi abbiamo due possibilità: det(A)=\pm 1.

3) det(-A)=det(A)

Vero, perché stiamo considerando matrici di ordine 4. Se l'ordine fosse dispari, l'affermazione non sarebbe vera, ma qui non ci interessa. L'affermazione è vera perché vale l'uguaglianza

det(-A)=(-1)^n det(A)

dove n è l'ordine della matrice, infatti

det(-A)=det((-I)A)=det(-I)det(A)=(-1)^ndet(A)

avendo applicato il teorema di Binet.

4) Se AB=BA, allora ((BA)^2)^{-1}=(B^2)^{-1}(A^2)^{-1}

Vero. Infatti da una parte

((BA)^2)^{-1}=((AB)^2)^{-1}=((AB)(AB))^{-1}=(AB)^{-1}(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}B^{-1}A^{-1}

ricordando che l'inversa del prodotto di due matrici è data dal prodotto invertito delle inverse delle singole matrici. Dall'altra parte abbiamo che

(B^2)^{-1}(A^{2})^{-1}=B^{-1}B^{-1}A^{-1}A^{-1}=B^{-1}(AB)^{-1}A^{-1}=B^{-1}(BA)^{-1}A^{-1}=B^{-1}A^{-1}B^{-1}A^{-1}

avendo, al penultimo passaggio, applicato l'ipotesi.

5) Se AB=0 e det(A)\neq 0, allora B è invertibile.

Falso. Infatti per Binet sappiamo che 0=det(AB )=det(A)det(B ), quindi essendo det(A)\neq 0 risulta che det(B )=0 e dunque B non è invertibile.

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Non capisco: o mi sbaglio (possibilissimo), o c'è qualcosa che non va...
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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Os