Determinare una base nota un'altra base e la matrice di passaggio

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Determinare una base nota un'altra base e la matrice di passaggio #3985

avt
nando
Frattale
Nel preparare l'esame scritto di Algebra Lineare ho incontrato un esercizio che non sto proprio riuscendo a risolvere. Devo determinare i vettori di una base conoscendo un'altra base e la matrice di passaggio. Cosa devo fare?

Siano \mathcal{B} e \mathcal{B}' due basi di \mathbb{R}^3. Determinare i vettori della base \mathcal{B}' sapendo che

\mathcal{B}=\{(1,1,1), \ (1,1,0), \ (1,0,0)\}

e conoscendo la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} a \mathcal{B}':

M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}3&2&3 \\ 2&1&1 \\ 1&0&1\end{pmatrix}
 
 

Determinare una base nota un'altra base e la matrice di passaggio #4004

avt
Galois
Amministratore
Sappiamo che \mathcal{B} e \mathcal{B}' sono due basi di \mathbb{R}^3 e dobbiamo determinare i vettori di \mathcal{B}' conoscendo gli elementi di \mathcal{B}

\mathcal{B}=\{(1,1,1), \ (1,1,0), \ (1,0,0)\}

e la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} a \mathcal{B}'

M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}3&2&3 \\ 2&1&1 \\ 1&0&1\end{pmatrix}

Chiamiamo \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 i vettori di \mathcal{B}

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,0,0)

e siano \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3 i vettori di \mathcal{B}'

\mathcal{B}'=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3\}.

Per definizione di matrice di cambiamento di base, l'i-esima colonna di M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} ha per elementi le coordinate del vettore \mathbf{v}_i riferite alla base \mathcal{B}'.

Le coordinate di \mathbf{v}_i rispetto alla base \mathcal{B}' sono i coefficienti della combinazione lineare con cui si scrive \mathbf{v}_i in termini dei vettori \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3, per cui valgono le seguenti uguaglianze:

S: \ \begin{cases}\mathbf{v}_1=(1,1,1)=3 \cdot \mathbf{w}_1+2 \cdot \mathbf{w}_2+1 \cdot \mathbf{w}_3 \\ \mathbf{v}_2=(1,1,0)=2 \cdot \mathbf{w}_1+ 1 \cdot \mathbf{w}_2 + 0 \cdot \mathbf{w}_3 \\ \mathbf{v}_3=(1,0,0) = 3 \cdot \mathbf{w}_1+ 1 \cdot \mathbf{w}_2 + 1 \cdot \mathbf{w}_3\end{cases}

Il nostro compito è determinare i vettori \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3. Imponiamo che sia

\mathbf{w}_1=(x_1,y_1,z_1) \ \ ; \ \ \mathbf{w}_2=(x_2,y_2,z_2) \ \ ; \ \ \mathbf{w}_3=(x_3,y_3,z_3)

e sostituiamo nelle equazioni del sistema. Partiamo dalla prima:

\\ \bullet \ (1,1,1)=3\mathbf{w}_1+2\mathbf{w}_2+\mathbf{w}_3 \\ \\ (1,1,1) = 3(x_1,y_1,z_1)+2(x_2,y_2,z_2)+(x_3,y_3,z_3) \\ \\ (1,1,1)=(3x_1+2x_2+x_3, \ 3y_1+2y_2+y_3, \ 3z_1+2z_2+z_3)

Due vettori sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, per cui dev'essere

\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 3z_1+2z_2+z_3=1\end{cases}

Sostituiamo, poi, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 , \mathbf{w}_3 nella seconda equazione di S

\\ \bullet \ (1,1,0)=2\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2 \\ \\ (1,1,0)=2(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) \\ \\ (1,1,0) = (2x_1+x_2, \ 2y_1+y_2, \ 2z_1+z_2)

e otteniamo il sistema

\begin{cases}2x_1+x_2=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 2z_1+z_2=0\end{cases}

Infine, sostituiamo nella terza equazione di S

\\ \bullet \ (1,0,0) = 3\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2+\mathbf{w}_3 \\ \\ (1,0,0) = 3(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)+(x_3,y_3,z_3) \\ \\ (1,1,1)=(3x_1+x_2+x_3, \ 3y_1+y_2+y_3, \ 3z_1+z_2+z_3)

e ricaviamo

\begin{cases}3x_1+x_2+x_3=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

In definitiva, S corrisponde al seguente sistema lineare di 9 equazioni in 9 incognite

\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 3z_1+2z_2+z_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 2z_1+z_2=0 \\ 3x_1+x_2+x_3=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

Non facciamoci spaventare dal numero di equazioni e osserviamo che ci sono tre blocchi di tre equazioni che dipendono da tre incognite:

\\ (1) \ \begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 3x_1+x_2+x_3=1\end{cases} \\ \\ \\ (2) \ \begin{cases}3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \end{cases} \\ \\ \\ (3) \ \begin{cases}3z_1+2z_2+z_3=1 \\ 2z_1+z_2=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

Ci siamo così ricondotti a tre semplici sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, che possiamo risolvere col metodo di sostituzione. Partiamo dal primo

(1) \ \begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 3x_1+x_2+x_3=1\end{cases}

Ricaviamo x_2 dalla seconda equazione e sostituiamo nelle altre

\begin{cases}3x_1+2(1-2x_1)+x_3=1 \\ x_2=1-2x_1 \\ 3x_1+(1-2x_1)+x_3=1\end{cases} \ \to \ \begin{cases}-x_1+x_3=-1 \\ x_2=1-2x_1 \\ x_1+x_3=0\end{cases}

Dalla terza equazione abbiamo che x_3=-x_1 e possiamo sostituire nella prima.

\begin{cases}-x_1-x_1=-1 \\ x_2=1-2x_1 \\ x_3=-x_1\end{cases}

Determiniamo x_1 dalla prima equazione, sostituiamo nelle altre, e ci siamo!

\begin{cases}x_1=\dfrac{1}{2} \\ \\ x_2=1-2x_1=1-2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0 \\ \\ x_3=-x_1=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

Il secondo e il terzo sistema si risolvono allo stesso identico modo e si ottiene

\\ (2) \ \begin{cases}y_1=0 \\ y_2=1 \\ y_3=-1\end{cases} \\ \\ \\ (3) \ \begin{cases}z_1=-\dfrac{1}{2} \\ \\ z_2=1 \\ \\ z_3=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Possiamo allora concludere che

\\ \mathbf{w}_1=(x_1,y_1,z_1)=\left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right) \\ \\ \\ \mathbf{w}_2=(x_2,y_2,z_2)=\left(0,1,1\right) \\ \\ \\ \mathbf{w}_3=(x_3,y_3,z_3)=\left(-\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}\right)

È tutto!
Ringraziano: Omega, Ifrit, nando
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Os