Determinare una base nota un'altra base e la matrice di passaggio

Nel preparare l'esame scritto di Algebra Lineare ho incontrato un esercizio che non sto proprio riuscendo a risolvere. Devo determinare i vettori di una base conoscendo un'altra base e la matrice di passaggio. Cosa devo fare?

Siano e due basi di . Determinare i vettori della base sapendo che

e conoscendo la matrice di cambiamento di base da a :

Sappiamo che e sono due basi di e dobbiamo determinare i vettori di conoscendo gli elementi di

e la matrice di cambiamento di base da a

Chiamiamo i vettori di

e siano i vettori di

.

Per definizione di matrice di cambiamento di base, l'-esima colonna di ha per elementi le coordinate del vettore riferite alla base .

Le coordinate di rispetto alla base sono i coefficienti della combinazione lineare con cui si scrive in termini dei vettori , per cui valgono le seguenti uguaglianze:

Il nostro compito è determinare i vettori . Imponiamo che sia

e sostituiamo nelle equazioni del sistema. Partiamo dalla prima:

Due vettori sono uguali quando coincidono gli elementi che occupano la stessa posizione, per cui dev'essere

Sostituiamo, poi, nella seconda equazione di

e otteniamo il sistema

Infine, sostituiamo nella terza equazione di

e ricaviamo

In definitiva, corrisponde al seguente sistema lineare di 9 equazioni in 9 incognite

Non facciamoci spaventare dal numero di equazioni e osserviamo che ci sono tre blocchi di tre equazioni che dipendono da tre incognite:

Ci siamo così ricondotti a tre semplici sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, che possiamo risolvere col metodo di sostituzione. Partiamo dal primo

Ricaviamo dalla seconda equazione e sostituiamo nelle altre

Dalla terza equazione abbiamo che e possiamo sostituire nella prima.

Determiniamo dalla prima equazione, sostituiamo nelle altre, e ci siamo!

Il secondo e il terzo sistema si risolvono allo stesso identico modo e si ottiene

Possiamo allora concludere che

È tutto!