Base ortogonale e base ortonormale di un sottospazio generato

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Base ortogonale e base ortonormale di un sottospazio generato #3978

avt
marcolino87
Cerchio
Vi illustro il problema: dispongo di due vettori di R^3 e devo calcolare una base ortogonale e una base ortonormale per il sottospazio da essi generato. Cosa dovrei fare?

Si considerino i seguenti vettori di R^3:

v_1 = (1,1,0) ; v_2 = (2,0,0)

e sia V il sottospazio da essi generato:

V = Span(v_1, v_2)

Determinare una base ortogonale e una base ortonormale di V.
 
 

Base ortogonale e base ortonormale di un sottospazio generato #4015

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il sottospazio generato dai vettori

v_1 = (1,1,0) ; v_2 = (2,0,0)

ossia

V = Span(v_1, v_2)

e, come richiesto, calcoliamo una base ortogonale e una base ortonormale di V.

Poiché non si fa alcun accenno al prodotto scalare rispetto cui operare è da intendersi il prodotto scalare canonico su R^3, che indicheremo con ·

I vettori che generano V sono linearmente indipendenti tra loro, dunque v_1, v_2 è una base di V.

Per determinare una sua base ortogonale applichiamo il processo di ortogonalizzazione di Gram Schmidt.

Siano:

w_1 = v_1 = (1,1,0)

e

w_2 = v_2-(v_2·w_1)/(w_1·w_1)w_1 = (2,0,0)-((2,0,0)·(1,1,0))/((1,1,0)·(1,1,0)) (1,1,0) =

Calcoliamo i prodotti scalari

= (2,0,0)-(2)/(2) (1,1,0) = (2,0,0)-(1,1,0) = (1,-1,0)

I vettori w_1, w_2 formano una base ortogonale di V, ossia una sua base ortogonale è

mathcalB = w_1, w_2 = (1,1,0), (1,-1,0)

Per determinare una base ortonormale mathcalB' di V è sufficiente normalizzare i vettori di mathcalB, ossia

mathcalB'= w_1', w_2'

dove:

w_1'= (w_1)/(||w_1||) ; w_2'= (w_2)/(||w_2||)

Calcoliamo le norme:

||w_1|| = √(1^2+1^2+0^2) = √(2) ; ||w_2|| = √(1^2+(-1)^2+0^2) = √(2)

di conseguenza

w_1'= (w_1)/(||w_1||) = (1)/(√(2))(1,1,0) = ((1)/(√(2)),(1)/(√(2)),0) ; w_2'= (w_2)/(||w_2||) = (1)/(√(2))(1,-1,0) = ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2)),0)

Possiamo così concludere che una base ortonormale di V è:

mathcalB'= w_1', w_2' = ((1)/(√(2)),(1)/(√(2)),0), ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2)),0)

È fatta!
Ringraziano: Omega, frank094, marcolino87, CarFaby
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Os