Trovare le coordinate dei tre polinomi rispetto alla base considerata

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Trovare le coordinate dei tre polinomi rispetto alla base considerata #3961

avt
xavier310
Sfera
Chiedo il vostro aiuto per risolvere un problema sulle componenti di un polinomio che mi sta dando tanti grattacapi. Ci ho provato in tutti i modi ma non so davvero cosa fare per calcolare le coordinate di un polinomio rispetto a una base.

Dopo aver stabilito che

p_1(x)=4 \ \ ; \ \ p_2(x)=-2+5x \ \ ; \ \ p_3(x)=1+2x-x^2

formano una base di \mathbb{R}_2[x], calcolare le componenti del polinomio

p(x)=3-x+3x^2

rispetto a essa.
 
 

Re: Trovare le coordinate dei tre polinomi rispetto alla base considerata #4010

avt
Galois
Amministratore
\mathbb{R}_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali, nell'indeterminata x e di grado al più 2.

L'insieme

\mathcal{B}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} = \{4, \ -2+5x, \ 1+2x-x^2\}

è una base di \mathbb{R}_2[x] se valgono le seguenti proprietà:

1) \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x];

2) \{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} è linearmente indipendente.

Verifichiamole!


Verifica della proprietà 1) - Sistema di generatori

\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} genera \mathbb{R}_2[x] se ogni polinomio di \mathbb{R}_2[x] si può scrivere come combinazione lineare di p_1(x), p_2(x), p_3(x), ossia se per ogni

q(x)=a+bx+cx^2 \in \mathbb{R}_2[x]

esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} tali che

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x)=q(x)

Sostituiamo i vari polinomi

\lambda_1 (4) + \lambda_2(-2+5x) + \lambda_3(1+2x-x^2) = a+bx+cx^2

Svolgiamo le varie operazioni e scriviamo il polinomio a primo membro in forma normale

\\ 4\lambda_1 -2\lambda_2 + 5\lambda_2 x + \lambda_3 +2\lambda_3 x -\lambda_3 x^2 = a+bx+cx^2 \\ \\ 4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3 + (5\lambda_2+2\lambda_3)x - \lambda_3 x^2 = a+bx+cx^2

Facciamo ora intervenire il principio di identità dei polinomi, secondo cui due polinomi dello stesso grado sono uguali se sono tali i coefficienti dei termini dello stesso grado. Passiamo allora al sistema

\begin{cases}4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=a \\ 5\lambda_2+2\lambda_3 = b \\ -\lambda_3 = c\end{cases}

Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono

A=\begin{pmatrix}4&-2&1 \\ 0&5&2 \\ 0&0&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}4&-2&1&a \\ 0&5&2&b \\ 0&0&-1&c\end{array}\right)

A è una matrice a gradini con 3 righe non identicamente nulle, per cui ha rango uguale a 3.

Per quanto concerne la matrice completa osserviamo che (A|\mathbf{b}) è una matrice 3 \times 4, per cui il suo rango è al più 3; essendo A una sua sottomatrice 3 \times 3 di rango massimo possiamo affermare che anche il rango di (A|\mathbf{b}) è 3.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione per ogni a,b,c \in \mathbb{R}, il che vuol dire che p_1(x), p_2(x), p_3(x) costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x].


Verifica della proprietà 2) - lineare indipendenza

p_1(x), p_2(x), p_3(x) sono linearmente indipendenti se e solo se, imponendo che sia

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x)=0

l'uguaglianza è soddisfatta solo per \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.

Abbiamo già calcolato la forma normale del polinomio a primo membro, per cui possiamo passare direttamente a

4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3 + (5\lambda_2+2\lambda_3)x - \lambda_3 x^2 = 0

che equivale al sistema lineare omogeneo

\begin{cases}4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=0 \\ 5\lambda_2+2\lambda_3 = 0 \\ -\lambda_3 = 0\end{cases}

La matrice incompleta a esso associata è la stessa matrice A, ed avendo già osservato che ha rango 3 possiamo asserire che il sistema ammette come unica soluzione quella banale, cosicché p_1(x), p_2(x), p_3(x) sono indipendenti.

In definitiva \mathcal{B} è una base di \mathbb{R}_2[x] e possiamo risolvere la seconda parte dell'esercizio, che chiede di calcolare le componenti di p(x)=3-x+3x^2 rispetto a essa.

Prima di procedere ci teniamo a fare una piccola osservazione. In generale, un insieme formato da n vettori è una base di uno spazio vettoriale di dimensione n se e solo se gli n vettori sono linearmente indipendenti tra loro.

Ora, dovrebbe essere noto che la dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}_2[x] è 3, per cui per stabilire se \mathcal{B} è una sua base sarebbe stato sufficiente verificare l'indipendenza lineare di p_1(x), p_2(x), p_3(x), con un notevole risparmio di tempo.


Calcolo delle componenti di p(x) rispetto a \mathcal{B}

Le componenti riferite alla base \mathcal{B} del polinomio p(x)=3-x+3x^2 sono gli scalari \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 tali per cui

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) + \lambda_3 p_3(x) = p(x)

ossia

4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3 + (5\lambda_2+2\lambda_3)x - \lambda_3 x^2 = 3-x+3x^2

Ancora una volta, il principio di identità dei polinomi ci permette di passare al sistema

\begin{cases}4\lambda_1-2\lambda_2+\lambda_3=3 \\ 5\lambda_2+2\lambda_3 = -1 \\ -\lambda_3 = 3\end{cases}

Risolviamolo col metodo di sostituzione

Ricaviamo \lambda_3 dall'ultima equazione e sostituiamo nelle altre

\begin{cases}4\lambda_1-2\lambda_2-3=3 \\ 5\lambda_2+2 \cdot (-3) = -1 \\ \lambda_3 = -3\end{cases} \ \to \ \begin{cases}4\lambda_1-2\lambda_2=6 \\ \lambda_2= 1 \\ \lambda_3 = -3\end{cases}

Sostituiamo \lambda_2=1 nella prima equazione e abbiamo finito

\begin{cases}4\lambda_1-2 \cdot 1 =6 \\ \lambda_2= 1 \\ \lambda_3 = -3\end{cases} \ \to \ \begin{cases}\lambda_1=2 \\ \lambda_2= 1 \\ \lambda_3 = -3\end{cases}

La soluzione del sistema è

(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(2,1,-3)

e quindi le componenti rispetto alla base \mathcal{B} di p(x) sono

\left(p(x)\right)_{\mathcal{B}}=(2,1,-3)

Fine!
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310
  • Pagina:
  • 1
Os