Trovare le coordinate dei tre polinomi rispetto alla base considerata

Chiedo il vostro aiuto per risolvere un problema sulle componenti di un polinomio che mi sta dando tanti grattacapi. Ci ho provato in tutti i modi ma non so davvero cosa fare per calcolare le coordinate di un polinomio rispetto a una base.

Dopo aver stabilito che



formano una base di , calcolare le componenti del polinomio



rispetto a essa.

è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali, nell'indeterminata e di grado al più 2.

L'insieme



è una base di se valgono le seguenti proprietà:

1) è un sistema di generatori di ;

2) è linearmente indipendente.

Verifichiamole!


Verifica della proprietà 1) - Sistema di generatori

genera se ogni polinomio di si può scrivere come combinazione lineare di , ossia se per ogni



esistono tali che



Sostituiamo i vari polinomi



Svolgiamo le varie operazioni e scriviamo il polinomio a primo membro in forma normale



Facciamo ora intervenire il principio di identità dei polinomi, secondo cui due polinomi dello stesso grado sono uguali se sono tali i coefficienti dei termini dello stesso grado. Passiamo allora al sistema



Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono



è una matrice a gradini con 3 righe non identicamente nulle, per cui ha rango uguale a 3.

Per quanto concerne la matrice completa osserviamo che è una matrice , per cui il suo rango è al più 3; essendo una sua sottomatrice di rango massimo possiamo affermare che anche il rango di è 3.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione per ogni , il che vuol dire che costituiscono un sistema di generatori di .


Verifica della proprietà 2) - lineare indipendenza

sono linearmente indipendenti se e solo se, imponendo che sia



l'uguaglianza è soddisfatta solo per .

Abbiamo già calcolato la forma normale del polinomio a primo membro, per cui possiamo passare direttamente a



che equivale al sistema lineare omogeneo



La matrice incompleta a esso associata è la stessa matrice , ed avendo già osservato che ha rango 3 possiamo asserire che il sistema ammette come unica soluzione quella banale, cosicché sono indipendenti.

In definitiva è una base di e possiamo risolvere la seconda parte dell'esercizio, che chiede di calcolare le componenti di rispetto a essa.

Prima di procedere ci teniamo a fare una piccola osservazione. In generale, un insieme formato da vettori è una base di uno spazio vettoriale di dimensione se e solo se gli vettori sono linearmente indipendenti tra loro.

Ora, dovrebbe essere noto che la dimensione dello spazio vettoriale è 3, per cui per stabilire se è una sua base sarebbe stato sufficiente verificare l'indipendenza lineare di , con un notevole risparmio di tempo.


Calcolo delle componenti di rispetto a

Le componenti riferite alla base del polinomio sono gli scalari tali per cui



ossia



Ancora una volta, il principio di identità dei polinomi ci permette di passare al sistema



Risolviamolo col metodo di sostituzione

Ricaviamo dall'ultima equazione e sostituiamo nelle altre



Sostituiamo nella prima equazione e abbiamo finito



La soluzione del sistema è



e quindi le componenti rispetto alla base di sono



Fine!