Come stabilire se tre punti nello spazio sono allineati

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Come stabilire se tre punti nello spazio sono allineati #39537

avt
screative
Cerchio
Salve ho un piccolo dubbio su come fare per capire se 3 punti nello spazio sono allineati.

P=(x_1,y_1,z_1)

P_1=(x_2,y_2,z_2)

P_2=(x_3,y_3,z_3)

La mia domanda è la seguente: se costruisco una matrice aventi per righe le coordinate x,y,z dei rispettivi punti e calcolo il determinante, se esso è nullo i 3 punti sono allineati?

Oppure affinché essi siano allineati è necessario che il rango della matrice sia 1?

Grazie in anticipo per le vostre risposte!
 
 

Come stabilire se tre punti nello spazio sono allineati #39552

avt
kameor
Sfera
ciao emt,

l'idea della matrice è buona, pero se usi i punti cosi come sono non ottieni il risultato sperato.

considera invece i vettori:

P_1 - P

P_2 - P

cioè che si ottengono sottraendo lo stesso punto agli altri due

Immagine2_2012 11 20


se i tre punti sono allineati allora i due vettori sono paralleli.

crea quindi una matrice che ha come righe (o colonne) quei vettori

\left[\begin{matrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1\end{matrix}\right]

se i vettori sono paralleli la matrice ha rango 1, in quel caso ogni sotto matrice quadrata 2x2 ha determinante uguale a 0, in particolare ti basta verificare i determinanti delle due sottomatrici (il terzo verrbbe di conseguenze, in totale sono 3 le sottomatrici 2x2).

\det(\left[\begin{matrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1  \\  x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{matrix}\right]) = 0

\det(\left[\begin{matrix} x_2 - x_1 & z_2 - y_1  \\ x_3 - x_1 & z_3 - y_1 \end{matrix}\right]) = 0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, screative, nasti_monogatari, silviasan
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Os