Base dello spazio delle soluzioni di un sistema 3x4

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Base dello spazio delle soluzioni di un sistema 3x4 #3912

avt
904
Sfera
Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale V rappresentato dal seguente sistema di equazioni:

\begin{cases}3x_1-3x_2+2x_3+x_4=0\\ x_1+3x_2-x_3-4x_4=0\\ 4x_2-3x_3+3x_4=0\end{cases}

Mi sono costruito la matrice associata ma poi come devo fare? Devo ridurre a scalini? E non si trova che il rango non è 3 del sistema?
 
 

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema 3x4 #3930

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao 904,

abbiamo un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 dato dalle soluzioni di un sistema lineare.

Il nostro intento è determinare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare.

La matrice dei coefficienti è:

A=\left[\begin{matrix}3&-3&2&1\\ 1&3&-1&-4\\0&4&-3&3 \end{matrix}\right]

Riduciamo a scala con Gauss. Modifichiamo la seconda riga sostituendola con

R_2'=R_2-\frac{1}{3}R_1\\ \\ \left[\begin{matrix}3&-3&2&1\\ 0&4&-\frac{5}{3}&-\frac{13}{3}\\0&4&-3&3 \end{matrix}\right]

La prima iterazione del metodo non richiede interventi sulla terza riga

R_3'=R_3

La seconda iterazione richiede di modificare la terza riga nel modo seguente:

R_3''=R_3'-R'_2\\ \\ \left[\begin{matrix}3&-3&2&1\\ 0&4&-\frac{5}{3}&-\frac{13}{3}\\0&0&-\frac{4}{3}&\frac{22}{3} \end{matrix}\right]

Scriviamo il sistema lineare sotto forma di equazione matriciale:

\left[\begin{matrix}3&-3&2&1\\ 0&4&-\frac{5}{3}&-\frac{13}{3}\\0&0&-\frac{4}{3}&\frac{22}{3} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\0 \end{matrix}\right]

Esso si traduce nel seguente sistema, equivalente a quello dato:

\begin{cases}3x_1-3x_2+2x_3+x_4=0\\ 4x_2-\frac{5}{3}x_3-\frac{13}{3}x_4=0\\ -\frac{4}{3}x_3+\frac{22}{3}x_4= 0\end{cases}

Dall'ultima equazione ricaviamo:

x_3=\frac{11}{2}x_4

Sostituiamo nella penultima equazione

x_2=\frac{5}{12}x_3+\frac{13}{12}x_4=\\ \\ \\ =\frac{55}{24} x_4+\frac{13}{12}x_4 =\\ \\ \\ =\frac{27}{8}x_4

Infine, dalla prima equazione abbiamo

x_1=x_2-\frac{2}{3}x_3-\frac{1}{3}x_4=\\ \\ \\ =\frac{27}{8}x_4 -\frac{11}{3} x_4 -\frac{1}{3}x_4=\\ \\ \\ =-\frac{5}{8} x_4

Un vettore appartenente al sottospazio V sarà della forma:

\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-\frac{5}{8}x_4 \\ \\ \frac{27}{8}x_4\\ \\ \frac{11}{2}x_4 \\ \\ x_4 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-\frac{5}{8} \\ \\ \frac{27}{8} \\ \\ \frac{11}{2} \\ \\ 1 \end{matrix}\right] x_4

e da qui si vede che il vettore

\left[\begin{matrix}-\frac{5}{8} \\ \\ \frac{27}{8} \\ \\ \frac{11}{2} \\ \\ 1 \end{matrix}\right]

individua una base del sottospazio vettoriale V, che quindi ha dimensione 1.
Ringraziano: frank094, 904

Base dello spazio delle soluzioni di un sistema 3x4 #102594

avt
YM
Bot
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