Calcolare la composizione di due applicazioni lineari

Mi è capitato un esercizio sulla composizione di endomorfismi che non sono in grado di risolvere. L'esercizio propone due applicazioni lineari definite da immagini di vettori: io devo calcolare le loro composizioni.

Definiamo ponendo:



Determinare le seguenti composizioni



Grazie.

L'esercizio propone due applicazioni lineari da a così definite:



Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le composizioni tra le due applicazioni lineari, vale a dire:



Naturalmente entrambe le composizioni hanno senso perché stiamo componendo degli endomorfismi definiti sul medesimo spazio vettoriale.

Per prima cosa osserviamo che trasforma il generico vettore di colonna , nel vettore : rimangono invariate le prime due componenti, mentre la terza è nulla.

, invece, trasforma nel vettore . In questo caso:

- la prima componente del vettore immagine coincide con la prima componente di ;

- la seconda componente del vettore immagine uguaglia la terza componente di ;

- la terza componente del vettore immagine è uguale a 0.


Composizione

In base alla definizione di composizione tra applicazioni lineari, scriviamo che



Ciò significa che dobbiamo prima calcolare l'immagine del generico vettore mediante , dopodiché valutiamo nel vettore ottenuto.

Per come è definita , abbiamo immediatamente che



di conseguenza:



Sfruttiamo la definizione di così da ottenere




Composizione

La procedura per calcolare è identica alla precedente: cambia "solo" l'ordine di composizione.



In base alla definizione di , si ha che , perciò l'espressione precedente diventa



Usiamo infine la definizione di



Abbiamo finito!


Nota

L'esercizio ha messo in evidenza la non commutatività della composizione tra applicazioni lineari. Nel caso in esame è evidente che:



L'uguaglianza, infatti, vale se e solo se e non per tutti i vettori di .