Discussione di un sistema lineare, esercizio

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Discussione di un sistema lineare, esercizio #3764

avt
lolloviola
Frattale
In fase di preparazione all'esame scritto di Algebra Lineare mi sono imbattuto in un sistema lineare parametrico e omogeneo di quattro equazioni in tre incognite, di cui devo studiare la compatibilità e calcolare le soluzioni. Potreste aiutarmi?

Discutere il sistema lineare

\begin{cases}x+ay+z=0 \\ ax+y+z=0 \\ x+3y+2z=0 \\ 3x-ay+z=0\end{cases}

al variare di a \in \mathbb{R} e calcolarne le soluzioni per i valori del parametro per cui è compatibile.
 
 

Discussione di un sistema lineare, esercizio #3771

avt
Galois
Amministratore
Prima di procedere alla risoluzione dell'esercizio ricordiamo che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. In particolare, detto n il numero delle incognite e indicata con A la matrice dei coefficienti, abbiamo che:

- se il rango di A è uguale a n, il sistema ha un'unica soluzione, che è quella banale;

- se il rango di A è minore di n, il sistema ammette \infty^{n-\mbox{rk}(A)} soluzioni.

La matrice dei coefficienti associata al sistema lineare parametrico e omogeneo

\begin{cases}x+ay+z=0 \\ ax+y+z=0 \\ x+3y+2z=0 \\ 3x-ay+z=0\end{cases}

è

A=\begin{pmatrix}1&a&1 \\ a&1&1 \\ 1&3&2 \\ 3&-a&1\end{pmatrix}

Calcoliamone il rango con il criterio dei minori.

A è una matrice 4 \times 3, per cui il suo rango è al più 3. Consideriamo le sottomatrici 3 \times 3 che si ottengono da A eliminandone, rispettivamente, la prima, la seconda, la terza e la quarta riga

\\ A_1=\begin{pmatrix}a&1&1 \\ 1&3&2 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}1&a&1 \\ 1&3&2 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A_3=\begin{pmatrix}1&a&1 \\ a&1&1 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_4=\begin{pmatrix}1&a&1 \\ a&1&1 \\ 1&3&2\end{pmatrix}

e calcoliamone i determinanti con uno sviluppo di Laplace riferito alla prima riga.

\\ \mbox{det}(A_1)=\mbox{det}\begin{pmatrix}a&1&1 \\ 1&3&2 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+1} \cdot a \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}3 & 2 \\ -a & 1\end{pmatrix}+ (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix} + \\ \\ \\ + (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -a\end{pmatrix}=

Sviluppiamo i determinanti delle matrici 2x2

\\ = a \cdot (3+2a) - 1 \cdot (1-6) + 1 \cdot (-a-9) = \\ \\ = 3a+2a^2+5-a-9 = \\ \\ = 2a^2+2a-4=

effettuiamo un raccoglimento totale del fattore 2 e scomponiamo il trinomio risultante

=2(a^2+2a-2) = 2(a-1)(a+2)

La prima sottomatrice è andata. Procediamo con la seconda

\\ \mbox{det}(A_2)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&a&1 \\ 1&3&2 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}3 & 2 \\ -a & 1\end{pmatrix} + (-1)^{1+2} \cdot a \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix} + \\ \\ \\ + (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -a\end{pmatrix}= \\ \\ = 1 \cdot (3+2a) - a \cdot (1-6) + 1 \cdot (-a-9) = \\ \\ = 3+2a+5a-a-9 = \\ \\ = 6a-6=6(a-1)

Passiamo alla terza

\\ \mbox{det}(A_3)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&a&1 \\ a&1&1 \\ 3&-a&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -a & 1\end{pmatrix} + (-1)^{1+2} \cdot a \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}a & 1 \\ 3 & 1\end{pmatrix} + \\ \\ \\ + (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 3 & -a\end{pmatrix}= \\ \\ = 1 \cdot (1+a) - a \cdot (a-3) + 1 \cdot (-a^2-3) = \\ \\ = 1+a-a^2+3a-a^2-3 = \\ \\ = -2a^2+4a-2 =

Raccogliamo -2 a fattor comune e osserviamo che il trinomio che ne risulta è lo sviluppo di un quadrato di binomio

=-2(a^2-2a+1)=-2(a-1)^2

Infine

\\ \mbox{det}(A_4)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&a&1 \\ a&1&1 \\ 1&3&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2\end{pmatrix} + (-1)^{1+2} \cdot a \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}a & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} + \\ \\ \\ + (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}= \\ \\ = 1 \cdot (2-3) - a \cdot (2a-1) + 1 \cdot (3a-1) = \\ \\ = -1-2a^2+a+3a-1 = \\ \\ = -2a^2+4a-2 =-2(a-1)^2

Tutti e quattro i determinanti si annullano per a=1, dunque se a \neq 1 il rango di A è 3 e il sistema ha un'unica soluzione, che è quella banale:

(x,y,z)=(0,0,0).

Di contro, se a=1, il rango di A è 2. infatti la sottomatrice

A'=\begin{pmatrix}1&1 \\ 3&2 \end{pmatrix}

che si ottiene da A eliminandone la prima colonna e la prima e la quarta riga ha determinante diverso da zero.

Ne segue allora che, per a=1, il sistema ammette \infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni.

Per calcolarle riscriviamo il sistema sostituendo a con 1, eliminando la prima e la quarta equazione (che sono quelle corrispondenti alle righe di A non presenti in A') e assegnando a x il ruolo di parametro libero (che è l'incognita corrispondente alla colonna di A che non compare in A')

\begin{cases}x=t \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ x+y+z=0 \\ x+3y+2z=0\end{cases}

Sostituiamo x=t nella seconda e nella terza equazione

\begin{cases}x=t\\ t+y+z=0 \\ t+3y+2z=0\end{cases}

ricaviamo y dalla seconda e sostituiamola nella terza

\begin{cases}x=t\\ y=-t-z \\ t+3(-t-z)+2z=0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}x=t\\ y=-t-z \\z=-2t\end{cases}

Sostituiamo z=-2t nella seconda equazione e abbiamo finito

\begin{cases}x=t\\ y=-t-z=-t-(-2t) = t \\z=-2t\end{cases}

Per a=1, le soluzioni del sistema sono

(x,y,z)=(t,t,-2t) \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}.

Ricapitolando:

- quando a \neq 1 il sistema ha un'unica soluzione, quella banale;

- quando a = 1 il sistema ammette le \infty^1 soluzioni

(x,y,z)=(t,t,-2t) \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}.

Ecco fatto!
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