Domanda su applicazioni lineari

Buon anno! Volevo sapere se avete una idea su come dimostrare che una applicazione lineare è una applicazione di primo grado.

Buon anno Neumann!
La tua domanda è "strana". Consideriamo l'operatore:



dove con indico l'insieme delle funzioni continue in un intervallo , questo insieme è uno spazio vettoriale su (è facile da dimostrare.)

L'operatore I cosa fa? Ad una funzione continua associa un numero reale, cioè l'integrale di f su :



è un'applicazione lineare, ma non ha senso parlare di grado... .

Aspetta che forse ho formulato la domanda indecentemente, dammi un bel po' di tempo per coordinare le idee e spiego quello che intendo...

Ho coordinato le idee e molto probabilmente il discorso che porterò avanti si manterrà bene poco nei limiti della rigorosità, visto che non so dove sto andando a parare, però espongo la mia idea:

La mia domanda era se ogni applicazione lineare si può dimostrare essere in qualche modo una funzione di primo grado con incognite le componenti di un vettore. Esplico facendo due esempi:
Prodotto scalare rispetto ad un vettore (2;3), associa a tutti i vettori del piano
(a;b)*(2;3)=2a+3b funzione di primo grado in incognita le componenti del vettore.

Riprendo poi il tuo esempio dell'integrale definito tra a & b:
In questo caso i vettori sono le funzioni continue
data la funzione z_nxⁿ+...+z₂x²+z₁x+z₀

Associo il vettore (z_n;...;z₂;z₁;z₀)

Ogni funzione polinomiale è sistemata, così come ogni funzione approssimabile con il polinomio di Taylor. Rimarrebbero fuori le funzioni non derivabili (ma la mia idea è work in progress...)

Calcolerei l'integrale definito così:
(1/(n+1))z_nb^(n+1)+...+(1/2)z₁b^2+z₀b-(1/(n+1))z_na^(n+1)-...-(1/2)z₁a^2+z₀a

Che risulta essere una funzione di primo grado nelle "sole" incognite le componenti del vettore "funzione". Aspetto che mi contraddiate e che troviate gli eventuali e quanto più probabili errori!

!

Non ci piacciono gli "up"...

Ahahah, però il dimenticatoio è brutto...

Eccomi, lo so che è brutto il dimenticatoio, sorry! La questione è ancora una volta mal posta, ma mi è chiaro dove vuoi andare a parare. Punto primo, quello che hai scritto prima del messaggio non va bene, e te ne rendi conto tu stesso, quando affermi che per le funzioni che non sono analitiche non è possibile utilizzare Taylor.
Punto Secondo quello che vorresti dimostrare vale solo per applicazioni tra spazi vettoriali a dimensione finita, questo perché questi spazi hanno una bella base che ti permette di dimostrare quello che vuoi dimostrare. Per gli spazi vettoriali a dimensione infinita il gioco non vale più

Non volercene, premettendo che noi membri dello Staff rispondiamo il prima possibile (oggi in tre quanti problemi avremo risolto, Ifrit? Un centinaio?) ma se sono passate 18 ore prima che della tua riformulazione della richiesta, evidentemente non era questione di vita o di morte.

Rispondiamo il prima possibile e non abbiamo alcun obbligo nel farlo. Per noi è una questione di rispetto. Ma non siamo macchine, siamo esseri umani.

Dimenticatoio? Stiliamo una statistica delle domande che sono rimaste senza risposta? Hai mai aperto più di un topic in contemporanea e ciò nonostante hai ricevuto risposte a tutte le discussioni simultanee? Sono buono e caro e paziente, non ho voglia di incazzarmi con l'inizio del nuovo anno.

Grazie per la comprensione.

@Omega Easy man, non capisco quale lettera della parola "dimenticatoio" abbia suscitato le tue ire, non c'è nessuna pretesa implicita.

@Ifrit Sì, sulla mia precisazione basta anche tirar fuori funzioni non derivabili, non per forza non analitiche. Comunque intendi che l'idea non vale per applicazioni da spazi di dimensione non finita, oppure è solo non dimostrabile?