Autovalori e autovettori, definizioni

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Autovalori e autovettori, definizioni #3698

avt
904
Sfera
Salve. è giunto per me il momento di capire cosa cavolo sono gli autovalori e gli autovettori, e direi che sarebbe il caso che imparassi (e capissi) le definizioni...emt

Potete farmi comprendere il concetto di autovalore e di autovettore? Quali sono le definizioni di autovalori e autovettori? Ho provato a cercare in altri siti ma niente, inclusa Wikipedia...confido in voi! emt
 
 

Autovalori e autovettori, definizioni #3708

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo con le definizioni:

Definizione:

Sia A\in M_n(\mathbb{R}), una matrice quadrata di ordine n a coefficienti reali. Sia \mathbf{u}\in \mathbb{R}^n
un vettore non nullo. Diremo che \mathbf{u} è un autovettore per la matrice A se esiste uno scalare \lambda\in \mathbb{R} tale che:

A\mathbf{u}= \lambda \mathbf{u}


\lambda è detto autovalore associato all'autovettore \mathbf{u}.


Dalla stessa definizione segue che:

(A-\lambda I)\mathbf{u}=\mathbf{0}\quad (1)


Cioè il vettore \mathbf{u} è soluzione non banale dell'equazione matriciale (1). Questo vuol dire che la matrice A-\lambda I è singolare, dunque

\det(A-\lambda I)=0.


L'ultima equazione ci permette di trovare operativamente gli autovalori associati alla matrice. Una volta trovati, avremo anche gli autovettori.

Questi concetti sono fondamentali, comprenderai la loro potenza quando studierai il teorema spettrale, o comunque quando comincerai a parlare di diagonalizzazione di una matrice.

A proposito...c'è una guida fresca fresca su YM, la trovi qui: autovalori e autovettori. emt
Ringraziano: Omega, frank094, 904

Autovalori e autovettori, definizioni #3709

avt
904
Sfera
\det(A-\lambda I)=0
è l'equazione caratteristica vero?
Ok grazie mi sono fatto un idea

Autovalori e autovettori, definizioni #3713

avt
Ifrit
Amministratore
Esatto,
\det(A-\lambda I)=0 è detta equazione caratteristica. Le soluzioni sono dette radici caratteristiche e sono appunto gli autovalori della matrice A.
Ringraziano: Omega, frank094, 904
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Os