Dimostrare che U e W sono sottospazi vettoriali

Eccomi alle prese con un nuovo esercizio sulla verifica dei sottospazi vettoriali. Questa volta ho un insieme di funzioni, e non so proprio cosa fare.

Sia lo spazio vettoriale delle funzioni da in .

Dimostrare che l'insieme



è un sottospazio vettoriale di .

Detto lo spazio vettoriale delle funzioni da in , l'insieme



è un sottospazio vettoriale di se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra funzioni e di prodotto di una funzione per uno scalare.

In altri termini, per stabilire se è un sottospazio di dobbiamo controllare che valgano le seguenti proprietà:

(1) per ogni , ;

(2) per ogni e per ogni , .

In generale, prima di procedere con la verifica delle proprietà (1) e (2) è bene accertarsi che l'elemento neutro di rispetto alla somma, ossia la funzione identicamente nulla , appartiene a , perché se così non fosse potremmo concludere immediatamente che non è un sottospazio.

Indubbiamente è un elemento di , che si ottiene per , dunque non possiamo dir nulla a priori e dobbiamo procedere con la verifica delle proprietà (1) e (2).


Verifica della proprietà (1) - chiusura rispetto alla somma

Siano e due elementi di . Calcoliamone la somma:



Evidentemente è un elemento di , il che dimostra la chiusura di rispetto alla somma.


Verifica della proprietà (2) - chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

Fissato una scalare e presa una qualsiasi funzione il prodotto appartiene ancora a , infatti



e quindi è chiuso anche rispetto al prodotto per uno scalare.

In definitiva è un sottospazio vettoriale di e l'esercizio è concluso.