Dimostrare che U e W sono sottospazi vettoriali

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Dimostrare che U e W sono sottospazi vettoriali #3677

avt
xavier310
Sfera
Eccomi alle prese con un nuovo esercizio sulla verifica dei sottospazi vettoriali. Questa volta ho un insieme di funzioni, e non so proprio cosa fare.

Sia V lo spazio vettoriale delle funzioni da R in R.

Dimostrare che l'insieme

U = f ∈ V | f(x) = ax+b, con a,b ∈ R

è un sottospazio vettoriale di V.
Ringraziano: paperino
 
 

Re: Dimostrare che U e W sono sottospazi vettoriali #3699

avt
Omega
Amministratore
Detto V lo spazio vettoriale delle funzioni da R in R, l'insieme

U = f ∈ V | f(x) = ax+b, con a,b ∈ R

è un sottospazio vettoriale di V se e solo se U è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra funzioni e di prodotto di una funzione per uno scalare.

In altri termini, per stabilire se U è un sottospazio di V dobbiamo controllare che valgano le seguenti proprietà:

(1) per ogni f(x), g(x) ∈ U, f(x)+g(x) ∈ U;

(2) per ogni λ ∈ R e per ogni f(x) ∈ U, λ f(x) ∈ U.

In generale, prima di procedere con la verifica delle proprietà (1) e (2) è bene accertarsi che l'elemento neutro di V rispetto alla somma, ossia la funzione identicamente nulla f(x) = 0, appartiene a U, perché se così non fosse potremmo concludere immediatamente che U non è un sottospazio.

Indubbiamente f(x) = 0 è un elemento di U, che si ottiene per a = b = 0, dunque non possiamo dir nulla a priori e dobbiamo procedere con la verifica delle proprietà (1) e (2).


Verifica della proprietà (1) - chiusura rispetto alla somma

Siano f(x) = a_1x+b_1 e g(x) = a_2x+b_2 due elementi di U. Calcoliamone la somma:

f(x)+g(x) = a_1x+b_1+a_2x+b_2 = (a_1+b_1)x+(a_2+b_2)

Evidentemente f(x)+g(x) è un elemento di U, il che dimostra la chiusura di U rispetto alla somma.


Verifica della proprietà (2) - chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

Fissato una scalare λ ∈ R e presa una qualsiasi funzione f(x) = ax+b ∈ U il prodotto λ f(x) appartiene ancora a U, infatti

λ f(x) = λ (ax+b) = (λ a)x+λ b

e quindi U è chiuso anche rispetto al prodotto per uno scalare.

In definitiva U è un sottospazio vettoriale di V e l'esercizio è concluso.
Ringraziano: frank094, Ifrit, xavier310
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