Coordinate rispetto a una base in uno spazio vettoriali di polinomi

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Coordinate rispetto a una base in uno spazio vettoriali di polinomi #3630

avt
xavier310
Sfera
Ho riscontrato molte difficoltà nella risoluzione di un esercizio che mi chiede di calcolare le coordinate di un polinomio rispetto a una base fissata dello spazio dei polinomi.

Sia \mathbb{R}_{2}[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 e a coefficienti reali.

Si consideri la sua base

\\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]}=\left\{p_1(x),p_2(x),p_3(x)\right\}=\\ \\ =\left\{1+x,\, 1+x^2,\, x+x^2\right\}

Dire quali sono le coordinate del polinomio 1+x+x^2, rispetto \mathcal{B}_{R_2[x]}.

Grazie.
 
 

Coordinate rispetto a una base in uno spazio vettoriali di polinomi #3631

avt
Ifrit
Amministratore
Nello spazio dei polinomi \mathbb{R}_{2}[x] è fissata la base

\\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]}=\left\{p_1(x),\, p_2(x),\, p_3(x)\right\}= \\  \\ =\left\{1+x,\, 1+x^2,\, x+x^2\right\}

L'esercizio chiede di determinare le coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]} del polinomio

p(x)=1+x+x^2

e per farlo, basta rifarsi alla definizione di coordinate rispetto a una base.

Poiché \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]} è una base per \mathbb{R}_{2}[x], ogni polinomio q(x) di grado al più due si esprime in maniera unica come combinazione lineare dei vettori p_1(x),\,p_2(x),\, p_3(x), ossia esistono e sono unici gli scalari a_1,\, a_2,\, a_3 tali che

q(x)=a_1 p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)

Per definizione a_1,\,a_2,\,a_3 sono le coordinate di q(x) rispetto alla base.

Dopo questo veloce richiamo, cerchiamo le coordinate del polinomio p(x)=1+x+x^2 rispetto a \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]}.

Impostiamo l'uguaglianza

\\ p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x) \\ \\ 1+x+x^2=a_1 (1+x)+a_2(1+x^2)+a_3(x+x^2)

e svolgiamo le operazioni al secondo membro riportando il risultato secondo le potenze crescenti di x

1+x+x^2=a_1+a_2+(a_1+a_3)x+(a_2+a_3)x^2

In base al principio di identità dei polinomi il polinomio a sinistra è uguale al polinomio a destra se e solo se sono uguali i coefficienti omologhi, ossia se e solo se a_1,a_2,a_3 sono soluzioni del sistema lineare

\begin{cases}a_1+a_2=1\\ a_1+a_3=1\\ a_2+a_3=1\end{cases}

Procediamo col metodo di sostituzione.

Dalla prima equazione isoliamo a_2 al primo membro

\begin{cases}a_2=1-a_1\\ a_1+a_3=1\\ a_2+a_3=1\end{cases}

Sostituiamo a_2=1-a_1 nella terza

\begin{cases}a_2=1-a_1\\ a_1+a_3=1\\ 1-a_1+a_3=1\end{cases}

Dalla seconda equazione isoliamo a_3

\begin{cases}a_2=1-a_1\\ a_3=1-a_1\\ 1-a_1+a_3=1\end{cases}

e sostituiamo l'espressione nella terza

\\ \begin{cases}a_2=1-a_1\\ a_3=1-a_1\\ 1-a_1+(1-a_1)=1\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}a_2=1-a_1\\ a_3=1-a_1\\ a_1=\frac{1}{2}\end{cases}

Ora che conosciamo il valore di a_1, sostituiamo all'indietro per ricavare a_1\ \mbox{e}\ a_2

\begin{cases}a_2=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ a_3=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ a_1=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Le coordinate di p(x) rispetto alla base \mathcal{B}_{\mathbb{R}_{2}[x]} costituiscono il vettore coordinato

\left[p(x)\right]_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}_2[x]}}=\left(a_1,\, a_2,\, a_3\right)=\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\right)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os