Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale?

Come si verifica che un insieme di polinomi non è chiuso rispetto alla somma? Assegnato un sottoinsieme di devo controllare che non è chiuso rispetto alla somma, e quindi stabilire se è un sottospazio vettoriale.

Dato il seguente il sottoinsieme di



verificare che non è chiuso rispetto alla somma e quindi stabilire se è, o meno, un sottospazio vettoriale di .

Gli elementi dell'insieme



sono polinomi di grado 4, a coefficienti reali, nell'indeterminata e tali da avere il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, dunque un generico elemento di si presenta nella forma



Indicata con l'operazione di somma tra polinomi, è chiuso rispetto a se e solo se la somma di due qualsiasi elementi di appartiene ancora a .

Siano allora



due elementi di . La loro somma è



e non appartiene a in quanto il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 2.

Ricordiamo ora che un insieme è un sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite nello spazio vettoriale di cui è un sottoinsieme.

In questo caso è lo spazio dei polinomi , e la non chiusura di rispetto alla somma permette di concludere che non è un sottospazio vettoriale.

Abbiamo terminato!