Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale?

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Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale? #3625

avt
xavier310
Sfera
Come si verifica che un insieme di polinomi non è chiuso rispetto alla somma? Assegnato un sottoinsieme di R_4[x] devo controllare che non è chiuso rispetto alla somma, e quindi stabilire se è un sottospazio vettoriale.

Dato il seguente il sottoinsieme di R_4[x]

T = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 ∈ R_4[x] | a_4 = 1

verificare che non è chiuso rispetto alla somma e quindi stabilire se è, o meno, un sottospazio vettoriale di R_4[x].
 
 

Re: Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale? #3627

avt
frank094
Sfera
Gli elementi dell'insieme

T = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 ∈ R_4[x] | a_4 = 1

sono polinomi di grado 4, a coefficienti reali, nell'indeterminata x e tali da avere il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, dunque un generico elemento di T si presenta nella forma

p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+x^4

Indicata con + l'operazione di somma tra polinomi, T è chiuso rispetto a + se e solo se la somma di due qualsiasi elementi di T appartiene ancora a T.

Siano allora

 p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+x^4 ; q(x) = b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+x^4

due elementi di T. La loro somma è

 p(x)+q(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+x^4+b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+x^4 = a_0+b_0+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+(a_3+b_3)x^3+2x^4

e non appartiene a T in quanto il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a 2.

Ricordiamo ora che un insieme è un sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite nello spazio vettoriale V di cui è un sottoinsieme.

In questo caso V è lo spazio dei polinomi R_4[x], e la non chiusura di T rispetto alla somma permette di concludere che non è un sottospazio vettoriale.

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310
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Os