Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale?

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Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale? #3625

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Salve. Ho questa domanda da proporvi che mi ha creato alcuni dubbi. (inoltre quando avete un pochino di tempo vi chiedo anche di dare un'occhiata a quest'altra domanda).

Sia

V=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4;a_i \in \mathbb{R}\}

lo spazio vettoriale dei polinomi di grado <=4 a coefficienti reali. Siano

U=\{p(x) \in V \quad con \quad a_4=1\}

W=\{p(x) \in V \quad con \quad a_0=0\}

Stabilire quale delle seguenti affermazioni sono vere e dimostra il perchè

1) U è un sottospazio vettoriale di V
2) W è un sottospazio vettoriale di V
3) U ∩ W è un sottospazio vettoriale di V
4) Nessuna delle precedenti
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Re: Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale? #3627

  • frank094
  • avt
  • Maestro
Ciao Xavier, vediamo come risolvere questo quesito. Dato l'insieme

U = \{p(x) \in R_4[x] \mbox{ } | \mbox{ } a_4 = 1 \}

dimostriamo che non si tratta di un sottospazio vettoriale. Ogni elemento di questo particolare insieme è nella forma

p(x) = x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \qquad a_i \in \mathbb{R}

perciò andiamo a vedere come si comporta la funzione con le due proprietà fondamentali.

Additività: Presi due polinomi p_1, p_2 \in U vediamo che l'insieme non gode di questa proprietà perché

p_1 + p_2 = 2 x^4 + (a_3 + a_3')x^3 + (a_2 + a_2')x^2 + (a_1 + a_1')x + (a_0 + a_0')

Vediamo che a_4 = 2 perciò questo nuovo polinomio non appartiene all'insieme e di conseguenza U non è un sottospazio vettoriale ( inutile andare avanti, ormai abbiamo dimostrato che sicuramente non è sottospazio vettoriale ).

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W = \{p(x) \in R_5[x] \mbox{ } | \mbox{ } a_0 = 0 \}

L'elemento generico di questo insieme è nella forma

p(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x, \qquad a_i \in \mathbb{R}

Controlliamo le proprietà:

Additività: Presi due polinomi p_1, p_2 \in W vediamo che l'insieme gode di questa proprietà perché

p_1 + p_2 = (a_4 + a_4') x^4 + (a_3 + a_3')x^3 + (a_2 + a_2')x^2 + (a_1 + a_1')x

vediamo che a_0 = 0 perciò appartiene all'insieme W.

Omogeneità: Preso il polinomio p \in W e il numero reale \lambda \in \mathbb{R} vediamo che l'insieme gode di questa proprietà perché

\lambda p = \lambda a_4 x^4 + \lambda a_3 x^3 + \lambda a_2 x^2 + \lambda a_1 x

Rimane a_0 = 0 e tutti gli altri coefficienti appartengono ai reali perciò la proprietà è verificata.

Possiamo dire che W è un sottospazio vettoriale a tutti gli effetti.

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L'intersezione non è sicuramente un sottospazio vettoriale perché se provi l'additività ti accorgi che si ripresenta lo stesso problema precedente: viene a_4 = 2 quindi il nuovo polinomio non appartiene a U \cap W.

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La risposta esatta è la numero 2. Concordi?

Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310

Re: Perchè questo insieme non è un sottospazio vettoriale? #3632

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Concordo emt anche se con i polinomi che rappresentano spazi vettoriali ho qualche difficoltà, quindi ho aperto un altro topic che riguarda proprio questo argomento, quindi, quando hai un po di tempo libero, mi piacerebbe discuterne emt ti ringrazio Frank
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Ringraziano: frank094
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