Retta per due punti nel piano complessificato e retta coniugata

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Retta per due punti nel piano complessificato e retta coniugata #3590

avt
xavier310
Sfera
Non sono in grado di risolvere un problema sulla retta nel piano complessificato composto da diversi punti: dovrei scrivere l'equazione cartesiana e parametrica di una retta passante per due punti complessi, determinare la sua retta coniugata. Come posso fare?

Dati i punti del piano complessificato

A(1,i)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(1-i,0)

(a) Determinare l'equazione cartesiana e quelle parametriche della retta r passanti per i punti A\ \mbox{e}\ B;

(b) Scrivere l'equazione cartesiana della retta \overline{r} coniugata di r.

Grazie.
 
 

Retta per due punti nel piano complessificato e retta coniugata #3703

avt
Omega
Amministratore
Per scrivere l'equazione cartesiana della retta r passante per i punti del piano complessificato

A(x_{A},y_{A})=(1,i)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x_{B},y_{B})=(1-i,0)

possiamo rifarci alla formula per la retta passante per due punti

r:\ \frac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}

e scrivere

\\ r:\ \frac{y-i}{0-i}=\frac{x-1}{1-i-1}\\ \\ \\ r:\ \frac{y-i}{-i}=\frac{x-1}{-i}

da cui

y=x-1+i\ \ \ \to \ \ \ x-y-1+i=0

Per determinare le equazioni parametriche della retta nel piano, useremo invece la relazione

r:\ (x,y)=(x_A,y_A)+(x_B-x_A, y_B-y_A) t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

grazie alla quale otteniamo

\\ r:\ (x,y)=(1,i)+(1-i-1,0-1) t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\r:\ (x,y)=(1,i)+(-i,-1)t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

Il secondo punto del problema ci chiede di scrivere l'equazione della retta coniugata di r. Ricordiamo che se r è una retta del piano complessificato di equazione

r:\ ax+by+c=0

allora la retta coniugata di r si ottiene sostituendo a,b,c con i rispettivi coniugati

\overline{r}:\ \overline{a}x+\overline{b}y+\overline{c}=0

Nel nostro caso, i coefficienti che descrivono la retta r sono:

a=1 \ \ ,\ \ b=-1 \ \ , \ \ c=-1+i

per cui i loro coniugati valgono rispettivamente:

\overline{a}=1\ \ , \ \ \overline{b}=-1 \ \ , \ \ \overline{c}=-1-i

L'equazione della retta \overline{r} è pertanto

\\ \overline{r}:\ \overline{a}x+\overline{b}y+\overline{c}=0 \\ \\ \overline{r}:\ x-y-i-1=0

Abbiamo finito.
Ringraziano: frank094, Ifrit, 904, xavier310
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