Trovare la distanza tra due rette nello spazio

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Trovare la distanza tra due rette nello spazio #3537

avt
lolloviola
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio sulla distanza tra due rette nello spazio in cui figura un parametro. Dovrei trovare il valore del parametro per cui la distanza tra le rette sia pari a zero.

Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxyz dello spazio \mathbb{R}^3 e date le rette di equazioni:

\\ r:\ \begin{cases}x=ht\\ y=t\\ z=3\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-2hy+1=0 \\ y-2hz-1=0\end{cases}

(a) Stabilire per quali valori di h, \ r,s sono rette sghembe.

(b) Determinare i valori di h per cui la distanza tra le rette sia uguale a zero.

(c) Spiegare perché i risultati di (a) e quelli di (b) sono antitetici.

Grazie.
 
 

Trovare la distanza tra due rette nello spazio #3626

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio si compone di tre richieste, dobbiamo infatti:

- determinare gli eventuali valori di h affinché r,s di equazioni

\\ r:\ \begin{cases}x=ht\\ y=t\\ z=3\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-2hy+1=0 \\ y-2hz-1=0\end{cases}

siano rette sghembe;

- ricavare il valore di h affinché la distanza tra le rette sia uguale a zero;

- esaminare infine i risultati.


Studio della posizione reciproca delle rette

Studiamo la mutua posizione nello spazio delle rette r,s al variare del parametro h: più precisamente ricerchiamo i valori che deve assumere h affinché r,s siano rette sghembe.

Prima di tutto passiamo dalla forma parametrica alla forma cartesiana le equazioni della retta r.

Partiamo quindi dal sistema

\begin{cases}x=ht \\ y=t \\ z=3\end{cases}

Dalla seconda equazione è evidente che t=y: se sostituiamo l'espressione nella prima, il sistema diventa

\begin{cases}x=hy\\ y=t\\ z=3\end{cases}

A questo punto costruiamo il sistema composto esclusivamente dalle equazioni in cui non figura t, ottenendo così le equazioni cartesiane.

r:\ \begin{cases}x-hy=0\\ z-3=0\end{cases}

Dalla teoria sappiamo che r,s sono rette sghembe se e solo se è diverso da zero il determinante della matrice che ha per righe i coefficienti delle equazioni dei piani che definiscono le rette, cioè:

r,s \ \mbox{rette sghembe} \ \iff \ \mbox{det}\begin{pmatrix}1&-h&0&0\\ 0&0&1&-3\\ 1&-2h&0&1\\ 0&1&-2h&-1\end{pmatrix}\ne 0

Usando la regola di Laplace lungo la prima riga, la relazione diventa

1-h-6h^2\ne 0

soddisfatta da

h\ne -\frac{1}{2}\ \ \ \wedge \ \ \ h\ne \frac{1}{3}

In definitiva, r,s sono rette sghembe nel momento in cui h è diverso da -\frac{1}{2} e da \frac{1}{3}.


Distanza tra le rette nello spazio

Il secondo punto del problema ci chiede di determinare il valore di h affinché la distanza tra le rette r\ \mbox{e} \ s sia pari a zero.

Per calcolare la distanza tra r ed s, abbiamo bisogno del piano contenente la retta r e parallelo alla retta s: per ricavarlo, costruiamo il fascio di piani con sostegno r

\\ \mathrm{F}:\ \lambda(x-hy)+\mu(z-3)=0\\ \\ \lambda x-\lambda h y+\mu z-3\mu=0

ed esplicitiamo le componenti di un vettore che individua la direzione della retta s: non è difficile, basta infatti effettuare il prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta:

\mathbf{v}_{s}=\mathbf{n}_{\alpha}\times\mathbf{n}_{\beta}

dove

\mathbf{n}_{\alpha}=(1,-2h,0)

è il vettore dei coefficienti direttori del piano

\alpha:\ x-2hy+1=0

mentre

\mathbf{n}_{\beta}=(0,1,-2h)

è la tripla dei coefficienti direttori del piano di equazione

\beta:\ y-2hz-1=0

Svolto il prodotto vettore, scopriamo che la direzione di s è individuata dal vettore

\mathbf{v}_{s}=(4h^2,2h,1)

Poiché il piano \pi deve contenere la retta r, esso deve appartenere al fascio \mathrm{F}, per cui la sua equazione sarà della forma

\pi:\ \lambda x-h\lambda y+\mu z-3\mu=0

a cui associamo il vettore dei parametri direttori

\mathbf{n}_{\pi}=(\lambda, -h\lambda, \mu)

Per fare in modo che \pi sia parallelo alla retta s, imponiamo la nullità del prodotto scalare tra \mathbf{n}_{\pi} e \mathbf{v}_{s}

\mathbf{n}_{\pi}\cdot\mathbf{v}_{s}=0

da cui

\\ (4h^2,2h,1)\cdot (\lambda,-h\lambda,\mu)=0\\ \\ 2h^2\lambda+\mu=0 \ \ \ \to \ \ \ \mu=-2h^2\lambda

Se sostituiamo \mu=-2h^2\lambda nell'equazione di \pi, ricaviamo la seguente

\pi: \ \lambda(x-hy-2h^2z+6h^2)=0

o equivalentemente dividendo i due membri per \lambda\ne 0

\pi:\ x-hy-2h^2z+6h^2=0

Per costruzione la distanza tra le rette sghembe r,s coincide con la distanza tra il piano \pi e un qualsiasi punto della retta s: possiamo prendere ad esempio il punto

P(x_{P},y_{P},z_{P})=(2h-1,1,0)

Calcoliamo la distanza tra il punto e il piano

\\ d(\pi,P)=\frac{|ax_{P}+by_{P}+cz_{P}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\\ \\ \\ =\frac{|(2h-1)-h\cdot 1-2h^2\cdot 0-6h^2|}{\sqrt{1^2+(-h)^2+(-2h^2)^2}}=\\ \\ \\ =\frac{|6h^2+h-1|}{\sqrt{1+h^2+4h^4}}

e impostiamo l'equazione d(P,\pi)=0

\frac{|6h^2+h-1|}{\sqrt{1+h^2+4h^4}}=0

Poiché il denominatore non è nullo, l'equazione fratta è equivalente alla seguente

|6h^2+h-1|=0

Ricordando che il valore assoluto si annulla solo se è nullo il suo argomento, otteniamo

6h^2+h-1=0

equazione soddisfatta nel momento in cui

h=-\frac{1}{2}\ \ \ \vee \ \ \ h=\frac{1}{3}

Per rispondere all'ultimo quesito, bisogna ricordare che due rette hanno distanza nulla se e solo se sono incidenti oppure coincidenti: deve quindi essere necessario (ma non sufficiente) che r,s siano rette complanari.

Se al contrario le rette sono sghembe, la loro distanza è certamente maggiore di zero, ecco perché i risultati ottenuti sono tra loro antitetici.
Ringraziano: Omega
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Os