Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana

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Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana #3507

avt
lolloviola
Frattale
Ciao, ho un problema di Algebra lineare che non so come risolvere, e che riguarda l'equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana.

Eccolo: trovare l'equazione del piano passante per il punto (3,1,2) e parallelo alle rette di equazioni:

\begin{cases}x+4y-z=4\\ 6x-y+z=81\end{cases}

\begin{cases}x=1-2t\\ y=3+5t\\ z=40-t\end{cases}

in pratica nella seconda essendo già scritta in forma parametrica ho già i parametri direttori, giusto?
 
 

Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana #3531

avt
frank094
Sfera
Sì! Della seconda retta hai già il vettore direttore, di conseguenza non è necessario fare calcoli strani. Dobbiamo solo portare la prima retta dalla forma cartesiana a quella parametrica.

r: \left\{ \begin{matrix} x + 4y - z = 4 \\ 6x - y + z = 81 \end{matrix}

r: \left\{ \begin{matrix} x = 4 + z - 4y \\ 6(4 + z - 4y) - y + z = 81 \end{matrix}

r: \left\{ \begin{matrix} x = 4 + z - 4y \\ 24 + 6z - 24y - y + z = 81 \end{matrix}

r: \left\{ \begin{matrix} x = 4 + z - 4y \\ 7z - 25y = 57 \end{matrix}

r: \left\{ \begin{matrix} x = 4 + \frac{57}{7} + \frac{25y}{7} - 4y \\ z = \frac{57}{7} + \frac{25y}{7} \end{matrix}

r: \left\{ \begin{matrix} x = \frac{85}{7} - \frac{3y}{7} \\ z = \frac{57}{7} + \frac{25y}{7} \end{matrix}

Quindi abbiamo i vettori direttori

v_1 = (- 3/7, 1, 25/7)

v_2 = (-2, 5, - 1)

Fino a qui ti torna?
Ringraziano: Omega, Ifrit

Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana #3533

avt
lolloviola
Frattale
sisi diciamo che a me tornano per V1= (1,-7/3,-25/3) perchè ho dato x=t

Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana #3534

avt
frank094
Sfera
Perfetto. A questo punto si deve semplicemente calcolare il determinante della matrice

A = \begin{vmatrix} x - 3 \mbox{ & } y - 1 \mbox{ & } z - 2 \\ -3/7 \mbox{ & } 1 \mbox{ & } 25/7 \\ -2 \mbox{ & } 5 \mbox{ & } - 1 \end{vmatrix}

o in alternativa della matrice

B = \begin{vmatrix} x - 3 \mbox{ & } y - 1 \mbox{ & } z - 2 \\ 1 \mbox{ & } -7/3 \mbox{ & } -25/3 \\ -2 \mbox{ & } 5 \mbox{ & } - 1 \end{vmatrix}

Tanto sono uguali a meno di un multiplo emt .. il risultato della matrice A viene

det(A) = - \frac{1}{7} ( 132 x + 53y + z - 451 )

det( B ) = \frac{1}{3} ( 132 x + 53y + z - 451 )

Quindi l'equazione del piano è

\pi: 132x + 53y + z - 451 = 0

Ti torna?
Ringraziano: Omega, lolloviola

Equazione del piano passante per un punto e parallelo a due rette in forma cartesiana #3535

avt
lolloviola
Frattale
perfetto! torna! grazie mille!
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Os