Sistema lineare omogeneo con più incognite che equazioni

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Sistema lineare omogeneo con più incognite che equazioni #3482

avt
David
Cerchio
Qualcuno mi potrebbe aiutare con questa dimostrazione sui sistemi lineari omogenei con più incognite che equazioni?

Riguarda il fatto che un sistema lineare omogeneo con più incognite che equazioni ha sempre soluzioni, testualmente:

dimostra che un sistema lineare omogeneo con più incognite che equazioni ha sempre soluzioni non banali.
 
 

Sistema lineare omogeneo con più incognite che equazioni #3483

avt
frank094
Maestro
Ciao David,

credo che la dimostrazione diventi più o meno banale facendo riferimento ad un importante teorema che lega le soluzioni di un omogeneo al rango della matrice.

Teorema

Un sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali se e solo se il rango della matrice associata è strettamente minore al numero delle incognite.

Altrimenti, infatti, ne ammetterebbe solo una, che è appunto quella banale.

Detto m il numero di equazioni presenti nel sistema lineare omogeneo e p il numero di incognite, sappiamo per ipotesi che vale la relazione p > m.

Dalla definizione di rango sappiamo che esso è pari al massimo numero di righe linearmente indipendenti, perciò vale la relazione

rg(A) \leq m

Se ora uniamo le due disequazioni trovate, abbiamo

rg(A) \leq m < p

Che cosa abbiamo dimostrato? Che il numero di incognite è strettamente maggiore del rango della matrice associata, di conseguenza il sistema lineare omogeneo ammette sempre soluzioni non banali.
Ringraziano: Omega, David, alpina90, Shade
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Os