Discussione di un sistema lineare al variare di due parametri

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Discussione di un sistema lineare al variare di due parametri #3471

avt
lolloviola
Sfera
Mi potreste aiutare a discutere e a risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite e con due parametri?

Discutere, al variare di h,k \in \mathbb{R} il sistema lineare

\begin{cases}2x+hy=1 \\ 2x-y=k\end{cases}

e calcolarne le soluzioni per i valori dei parametri per cui è compatibile.
 
 

Discussione di un sistema lineare al variare di due parametri #3473

avt
Galois
Amministratore
Le matrici rappresentative del sistema lineare parametrico

\begin{cases}2x+hy=1 \\ 2x-y=k\end{cases}

sono:

A=\begin{pmatrix}2&h \\ 2&-1 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}2&h \\ 2&-1\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}1 \\ k\end{matrix}\right)

Calcoliamone i ranghi, per poi trarre le dovute conclusioni sulla compatibilità e, infine, calcolarne le soluzioni.


Rango della matrice incompleta

Il determinante di A è

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&h \\ 2&-1 \end{pmatrix}=-2-2h=-2(h+1)

e si annulla per h=-1.

Per il criterio dei minori, se h \neq -1 il rango di A è 2, mentre se h=-1 il rango di A è 1.

\mbox{rk}(A)=\begin{cases}2 \ \mbox{ se } \ h\neq-1 \\ 1 \ \mbox{ se } \ h=-1\end{cases}

Vediamo quanto vale il rango della matrice completa in corrispondenza di questi valori di h.


Rango della matrice completa per h\neq -1

Quando h \neq -1 anche il rango di (A|\mathbf{b}) è 2, infatti A è una sua sottomatrice 2 \times 2 di rango massimo.


Rango della matrice completa per h=-1

Quando h=-1 non possiamo dire nulla a priori, tant'è vero che il rango di

(A|\mathbf{b})_{h=-1} = \left(\begin{matrix}2&-1 \\ 2&-1\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}1 \\ k\end{matrix}\right)

potrebbe essere 1 oppure 2. Le sue sottomatrici di ordine 2 sono

\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ -1 & k\end{pmatrix} \ \ ; \ \ \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & k\end{pmatrix} \ \ ; \ \ \begin{pmatrix}2&-1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}

ottenute eliminandone, rispettivamente, la prima, la seconda e la terza colonna.

Calcoliamone i determinanti

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ -1 & k\end{pmatrix}=-k+1 \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & k\end{pmatrix}=2k-2=2(k-1) \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&-1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}=0

I primi due determinanti si annullano per k=1, pertanto:

\mbox{rk}\left((A|\mathbf{b})_{h=-1}\right) = \begin{cases}2 \ \mbox{ se } \ k\neq 1 \\ 1 \ \mbox{ se } \ k=1\end{cases}


Schema riepilogativo della compatibilità

Per scrivere lo schema riepilogativo sullo studio della compatibilità ricorriamo al teorema di Rouché Capelli:

- se h \neq -1 i ranghi delle due matrici sono uguali e coincidono col numero delle incognite, pertanto il sistema ha un'unica soluzione;

- se h = -1 e k \neq 1 i ranghi sono diversi, per cui il sistema è impossibile;

- se h = -1 e k = 1 entrambi i ranghi sono pari a 1, dunque il sistema è compatibile e ammette \infty^{2-1}=\infty^1 soluzioni.


Calcolo della soluzione per h \neq -1

Per calcolare la soluzione del sistema per h \neq -1 serviamoci del metodo di sostituzione.

\begin{cases}2x+hy=1 \\ 2x-y=k\end{cases}

Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima

\begin{cases}2x+h(2x-k)=1 \\ y=2x-k\end{cases} \ \to \ \begin{cases}2x+2hx-hk=1 \\ y=2x-k\end{cases}

Esplicitiamo la prima equazione in funzione di x e sostituiamo nella seconda

\begin{cases}x=\dfrac{1+hk}{2(h+1)} \\ \\ y=2x-k=2\left(\dfrac{1+hk}{2(h+1)}\right)-k\end{cases}

Svolgiamo i conti nella seconda equazione e ci siamo! La soluzione è:

(x,y)=\left(\frac{1+hk}{2(h+1)} , \ \frac{1-k}{h+1}\right)


Calcolo delle soluzioni per h = -1 e k=1

Riprendiamo il sistema

\begin{cases}2x+hy=1 \\ 2x-y=k\end{cases}

e sostituiamo h = -1 e k=1

\begin{cases}2x-y=1 \\ 2x-y=1\end{cases}

Le due equazioni sono identiche, per cui tralasciamone una e assegniamo a x il ruolo di parametro libero

\begin{cases}x=t, \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ 2x-y=1

Sostituiamo x=t nella seconda equazione e ricaviamo y

\begin{cases}x=t\\ y=2x-1=2t-1

Le \infty^1 soluzioni sono:

(x,y)=(t, \ 2t-1) \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

e l'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega
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Os